長崎県Ａ・Ｂ｜公立高校入試確率問題2014

　図１のように，１から７までの数字を１つずつ記入した７枚のカードが左から小さい順に並んでいる。大小２つのさいころを同時に１回投げて，大きいさいころの出た目の数を$${a}$$，小さいさいころの出た目の数を$${b}$$とするとき，次の操作を行う。

操　作
①７枚のカードの左端から$${a}$$番目のカードを取り除く。
②残った６枚のカードの右端から$${b}$$番目のカードを取り除く。

　ただし，それぞれのさいころの目は１から６まであり，どの目が出ることも同様に確からしいものとする。なお，カードを取り除くごとに，残ったカードは左側につめて並べるものとする。
　例えば，$${a}$$＝５，$${b}$$＝４のとき，７枚のカードの左端から５番目のカード５を取り除くので図２のようになり，次に残った６枚のカードの右端から４番目のカード３を取り除くので図３のようになる。

　このとき，次の(1)～(3)に答えよ。（※改題）

（１）　$${a}$$＝２，$${b}$$＝３　のとき，残った５枚のカードの数字を左から順に書け。

（２）　残った５枚のカードが［１］［２］［３］［４］［５］となる確率を求めよ。

（３）　残った５枚のカードの右端が［６］となる確率を求めよ。

（４）　残った５枚のカードの左端が［２］となる確率を求めよ。

分類：　応用〈4〉取り除く（取り除く、塗りつぶす）

※Ａ問題　問題文～（３）まで
※Ｂ問題　問題文～（２）までＡと共通＋上記（４）を（３）として出題

（１）は、とにかくやってみよう！

　$${a}$$＝２ですから、左端から２番目[２]のカードを取り除き、続けて$${b}$$＝３ですから右端から３番目[５]のカードを取り除きます。

　ですから、残っている５枚のカードは　１，３，４，６，７

（２）は・・・？

アプローチ１　とにかくかいてみよう！

　さいころ２つですので、表をかいてしまうのがいいでしょう。大きいさいころで取り除いた状態を書き添えておきます。

　すると、１～５が残るのは、$${a}$$＝６，$${b}$$＝１の１通りしかないことがわかります。

アプローチ２　　…ということは？で考える

　残った５枚のカードが［１］［２］［３］［４］［５］となる、ということは[６]と[７]のカードを取り除くわけですが、１回目には左端から６番目のカードしか取り除けませんので、[６]のカードをとることしかできません。すると２回めに[７]を取り除くことになります。それは$${a}$$=６，$${b}$$=１のとき、ということになり１通りのみです。

　というわけで、求める確率は$${\bm{\dfrac{1}{36}}}$$です。

（３）　～７が取り除かれる確率

　（２）のアプローチ２でも見たように１回目で[７]が取り除かれることはありませんので、１回目になんの目が出ても２回目の目$${b}$$が１であれば[７]が取り除かれます。しかし、１回目に[６]を取り除いてしまうと、２回目が終わったあとの右端は[５]となります。
　表にしてみると、こういうことです。

　あてはまる場合の数は５通りですので、その確率は$${\dfrac{5}{36}}$$

（４）　～１が取り除かれる確率

　１が取り除かれる場合を考えるわけですが、１回目で１のカードを取り除くことも可能ですし、１回目に別のカードを取り除けば右端から６番目に[１]のカードが残っているわけですから、２回めに６の目が出て［１］を取り除く場合も考えられます。ただしここでも注意が必要なのは、$${a}$$＝１，$${b}$$＝５の場合や、$${a}$$＝２，$${b}$$＝６の場合は、左端は３となります。
　Ａよりも複雑ですので、やはり、表をかいて考えた方が安心のようです。

　あてはまる場合の数は９通りですので、その確率は$${\dfrac{9}{36}=\bm{\dfrac{1}{4}}}$$

答

（１）　１，３，４，６，７　　（２）　$${\bm{\dfrac{1}{36}}}$$　　
（３）$${\bm{\dfrac{5}{36}}}$$〔※Ａ問題３番〕　　（４）$${\bm{\dfrac{1}{4}}}$$〔※Ｂ問題３番〕

【研究】取り除くカードをa，bの文字で表せないか？

　取り除くカードを$${a}$$，$${b}$$の文字で表せないか？　ということを考えてみましょう。たとえば$${a}$$=２のときを考えてみると、右から５枚のカードは順番通りに残っています。$${a}$$=４なら、右から３枚が順番通りに残ります。このとき、$${b}$$≦７－$${a}$$ならば、順番通りに並んでいるところからひくので、操作②で$${8-b}$$のカードをひくことになります。

　$${b}$$>７－$${a}$$ならばどうでしょう。最初に右から８－$${a}$$番目の$${a}$$のカードが取り除かれています。
　$${b}$$=８－$${a}$$か、$${b}$$>８－$${a}$$でさらに分けて考えましょう。$${b}$$=８－$${a}$$のときは、②の操作で右から$${b}$$番目の$${a-1}$$=$${8-b-1}$$=$${7-b}$$のカードをひくことになります。たとえば、$${a}$$＝４のときは、①の操作で４のカードが取り除かれ、右から３枚が順番通り・その右隣りは３のカードになります。ですから$${b}$$＝４となるときは３のカードを取り除きます。
　同じように$${a}$$＝４、$${b}$$＝５が出たら２のカードを取り除くことになります。やはり$${7-b}$$のカードをひいています。

ですから、次のようにまとめることができます。
（ｉ）a+b≦7のとき　（小さい順に）$${a}$$と$${8-b}$$
（ｉｉ）a+b≧8のとき　（小さい順に）$${7-b}$$と$${a}$$

　このように定式化したうえで、（３）と（４）を考えてみましょう。

（３）では、７が取り除かれて６が取り除かれない、ということを考えます。
（ｉ）　$${a+b}$$≦7のとき　（小さい順に）$${a}$$と$${8-b}$$
　$${a}$$が6ではなく、$${8-b=7}$$である場合、すなわち（１，１），（２，１），（３，１），（４，１），（５，１）の5通りが満たす。
（ｉｉ）$${a+b}$$≧8のとき　（小さい順に）$${7-b}$$と$${a}$$
$${7-b}$$が6ではなく$${a=7}$$である場合だが、$${a=7}$$にはならないので、満たす（$${a,b}$$）の組はない。

（４）は、１が取り除かれて２が取り除かれない、ということを考えます。
（ｉ）　$${a+b}$$≦7のとき　（小さい順に）$${a}$$と$${8-b}$$
$${a}$$が１で、$${8-b}$$が2ではない組ということなので、（１，１），（１，２），（１，３），（１，４），（１，５）の5通りが満たす。
（ｉｉ）$${a+b}$$≧8のとき　（小さい順に）$${7-b}$$と$${a}$$
$${7-b}$$が１、つまり$${b}$$が６で、$${a}$$が2ではない、そして$${a+b}$$≧8となる組ということなので、（３，６），（４，６），（５，６），（６，６）の4通りが条件を満たす。
　したがって、１が取り除かれて２が取り除かれない（$${a,b}$$）の組は、あわせて9通り。