愛媛県2022［レベル１～５］C型

　このnoteのシリーズでは、問題の解法をレベル１～５に分類し、そのうちレベル１の解き方で解ける問題が中学の確率の問題である、ということで解説をしています。

　特にレベル３以上は、高校で学習する内容が含まれます。レベルの違いとは何か、ということを示すために、同じ問題を、それぞれの解き方の「レベル」別に、何が違うのかを具体例として紹介しておくことにします。

　右の図のように，袋の中に，赤玉４個と白玉２個の合計６個の玉が入っている。この袋の中から同時に２個の玉を取り出すとき，赤玉と白玉が１個ずつである確率を求めよ。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

レベル１

　同様に確からしいことがらを並べるため、１～４は赤玉、⑤・⑥は白玉の、番号付きの記号をつけて表をかきます。袋に戻さないので、同じ玉は取り出せないこと、条件は２つの玉の色を比べるだけですので、取り出す順番は関係しません。ですからすべての場合を数え上げるために「Ｃ型」の表をかけばよいです。表のマス目を数えると、分母となるすべての場合は１５通りです。
　分子は、そのうち、取り出した２個の玉の色が赤玉と白玉が１個ずつの場合で、表の〇印のところで８通り。
　ですから、確率を求めると$${\bm{\dfrac{8}{15}}}$$。

レベル２

　分母はレベル１と同じ求め方で１５通り。
　分子は、同じ色の組み合わせを独自列挙をすると、１‐⑤・１‐⑥・２‐⑤・２‐⑥・３‐⑤・３‐⑥・４‐⑤・４‐⑥の８通り。

レベル３

　分母は、６つの中から２つを取り出す「組合せ」を考えるので$${_6\mathrm{C}_2=\dfrac{6×5}{2×1}=15}$$
　分子の求め方は上と同じで８通り。

レベル４

　分母はレベル３と同じ求め方で$${_6\mathrm{C}_2=\dfrac{6×5}{2×1}=15}$$
　分子は、赤４通りに対して、白が２通りずつあるので、その組合せは４×２の８通り。

レベル５

　（ｉ）１回目赤→２回目白の場合
　（ｉｉ）１回目白→２回目赤の場合
に分けて考えます。この２つの場合は背反（同時には起こらない）ですので、最後に確率をたし算すればよいです。

　（ｉ）１回目赤→２回目白の場合
　１回目は６個の玉の中から赤玉４個のうち１個を取り出し、２回目は残った５個の玉の中から白玉２個のうちの１個を取り出しますので、確率は$${\dfrac{4}{6}×\dfrac{2}{5}=\bm{\dfrac{8}{30}}}$$。

（ｉｉ）１回目白→２回目赤の場合
　１回目は６個の玉の中から白玉２個のうち１個を取り出し、２回目は残った５個の玉の中から赤玉４個のうちの１個を取り出しますので、確率は$${\dfrac{2}{6}×\dfrac{4}{5}=\bm{\dfrac{8}{30}}}$$。

　（ｉ）と（ｉｉ）の場合は、お互いに同時には起こりませんので、求める確率は、確率の和の法則よりこの２つの確率をたして、$${\dfrac{8}{30}+\dfrac{8}{30}=\dfrac{16}{30}=\bm{\dfrac{8}{15}}}$$。