【番外編】さいころ３個の問題を解くために必要なこと

　　さいころ3つの問題は，中学校範囲ではない，と言った。

　とは言ったものの、実際に私立高校の入試問題で学習指導要領を超える問題は出てくる。出るからには，受験生は対応せねばならない。
　何が必要になるのだろうか。中でも頻出の「さいころ３個」を例に、具体的に問題を解きながら考えてみる。

これまでのように「起こりうるすべての場合を列挙してカウント（分母）」→「条件に合う場合をカウント（分子）」とは行かない。ここからのポイントは、
条件に合う場合（分子）を独自に列挙したり、計算したりする力
にある。

　大，中，小３個のさいころを１回ずつ振り，大のさいころの出た目の数をa，中のさいころの出た目の数をb，小のさいころの出た目の数をcとする。このとき、次のようになる確率を求めよ。
(1)　a=b=c
(2)　ab=c
(3)　a-c=c-b
(4)　a+b>c

洛南高等学校　２０２０

分母は・・・

　$${6^3=6・6・6}$$=216
　確率計算の秘訣としては、どうせ後で約分できることが多いので，最初から計算せずに積の形で残しておくことである。

（１）はできれば瞬答で

分子は６。できれば、a=b=cが１～６の場合の６通り、というのが一瞬で出てきてほしいな、というのがこのレベルの話なのだと思う。求める確率をP1とすると

$${P1=\dfrac{6}{6×6×6}=\dfrac{1}{36}}$$

（２）はｃの値による場合分け

　ｃの値を１～６の場合分けをして、それぞれのときの（ａ，ｂ）の組合せを考えると，モレなくダブりなく列挙ができます。

ｃ＝ａｂ＝１のとき
　（ａ，ｂ）＝（１，１）の１通りのみ。
ｃ＝ａｂ＝２のとき
　（ａ，ｂ）＝（１，２）、（２，１）の２通り。
ｃ＝ａｂ＝３のとき
　（ａ，ｂ）＝（１，３）、（３，１）の２通り。
ｃ＝ａｂ＝４のとき
　（ａ，ｂ）＝（１，４）、（２，２），（４，１）の３通り。
ｃ＝ａｂ＝５のとき
　（ａ，ｂ）＝（１，５）、（５，１）の２通り。
ｃ＝ａｂ＝６のとき
　（ａ，ｂ）＝（１，６）、（２，３），（３，２），（６，１）の４通り。
　これらは同時に起こらないので、すべての場合の数はあわせて１４通り。求める確率をP2とすると

$${P2=\dfrac{14}{6×6×6}=\dfrac{7}{108}}$$

（３）は加法に変形して考えよう

　ｃが２箇所にある。左辺・右辺をそれぞれ考えて・・・とやると大変。ｃは移項する。このとき減法よりも加法で考えた方が楽になる。－ｂの項も同様。なので

$${a-c=c-b}$$
$${a+b=2c}$$

のように変形してから考えた方がよい。
　あらためて、（２）同様にｃの値を１～６の場合分けをして、それぞれのときの（ａ，ｂ）の組合せを考える。
ｃ＝１のとき　ａ＋ｂ＝２
　（ａ，ｂ）＝（１，１）の１通りのみ。
ｃ＝２のとき　ａ＋ｂ＝４
　（ａ，ｂ）＝（１，３）、（２，２），（３，１）の３通り。
ｃ＝３のとき　ａ＋ｂ＝６
　（ａ，ｂ）＝（１，５），（２，４），（３，３），（４，２），（５，１）の５通り。
ｃ＝４のとき　ａ＋ｂ＝８
　（ａ，ｂ）＝（２，６）、（３，５），（４，４），（５，３），（６，２）の５通り。
ｃ＝５のとき　ａ＋ｂ＝１０
　（ａ，ｂ）＝（４，６），（５，５），（６，４）の３通り。
ｃ＝６のとき　ａ＋ｂ＝１２
　（ａ，ｂ）＝（６，６）の１通りだけ。
　これらは同時に起こらないので、すべての場合の数はあわせて１８通り。求める確率をP3とすると

$${P3=\dfrac{18}{6×6×6}=\dfrac{1}{12}}$$

※類題　函館ラ・サール高等学校２０２０、愛光高等学校２０２１

（４）は余事象（・・・じゃない）を使ってみよう

　４の問題を解くときちょっと試行錯誤してみてもいいのだが，真っ正面からやるととても時間がかかる。これは$${a+b>c}$$じゃない方、つまり$${a+b≦c}$$を数えた方が早い。やはりｃが１～６のときで場合分けをして、（ａ，ｂ）の組合せを羅列してみる。
ｃ＝１のとき　ａ＋ｂ≦１
　これを満たす（ａ，ｂ）の組はない（０通り）。
ｃ＝２のとき　ａ＋ｂ≦２
　（ａ，ｂ）＝（１，１）の１通りだけ。
ｃ＝３のとき　ａ＋ｂ≦３
　（ａ，ｂ）＝（１，１），（１，２），（２，１）の３通り。
※ここで、あれ、上の組も含まれるぞ，と気づくとよろしい。
ｃ＝４のとき　ａ＋ｂ≦４
　（ａ，ｂ）＝（１，１），（１，２），（２，１），（１，３），（２，２），（３，１）の６通り。
ｃ＝５のとき　ａ＋ｂ≦６
　（ａ，ｂ）＝（１，１），（１，２），（２，１），（１，３），（２，２），（３，１），（１，４），（２，３），（３，２），（４，１）の１０通り。
ｃ＝６のとき　ａ＋ｂ≦６
　（ａ，ｂ）＝（１，１），（１，２），（２，１），（１，３），（２，２），（３，１），（１，４），（２，３），（３，２），（４，１），（１，５），（２，４），（３，３），（４，２），（５，１）の１５通り。
　これらは同時に起こらない（※）ので、すべての場合の数はあわせて３５通り。
※（ａ，ｂ）＝（１，１）とかかぶりまくってるじゃないか！と思うかも知れないが、考えているのはあくまで（ａ，ｂ，ｃ）の組であって、それぞれｃを固定したため、あとは（ａ，ｂ）の組合せを考える，というやり方をやっていたわけです。同じ（１，１）と書いてあっても、それぞれ（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１）（１，１，２）（１，１，３）（１，１，４）（１，１，５）（１，１，６）のことで、これらはやはり同時には起こりませんよ！

　で、求める確率をP4とすると

$${P4=1-\dfrac{35}{6×6×6}=1-\dfrac{35}{216}=\dfrac{181}{216}}$$

【問題２】　１つのさいころを３回投げるとき、出た目の最大値が３で最小値が１になる確率を求めよ。

久留米大学附設高等学校２０２１

組合せを羅列→順列を考える

　順序を考えず、小さい方から並べたときに出た目の最大値が３で最小値が１になる組合せは｛１，１，３｝｛１，２，３｝｛１，３，３｝である。
　このうち，同じ数が２つある組合せで１回目・２回目・３回目の順序を考えるとそれぞれに３通り（例えば｛１，１，３｝だと、３が１回目に来るか・２回目に来るか・３回目に来るかの３通り）ある。｛１，２，３｝を順番に並べる並べ方は$${_3P_3 = 3×2×1}$$で6通りである。これらは同時には起こらないので，出た目の最大値が３で最小値が１になる場合の数は合わせて12通り。
　したがって求める確率は

$${\dfrac{12}{6×6×6}=\dfrac{1}{18}}$$

類題：大阪星光学院高等学校2021

【問題３】　１個のさいころを３回投げて，１回目に出た目の数を百の位、２回目に出た目の数を十の位、３回目に出た目の数を一の位とする３桁の整数をつくるとき、次のような整数ができる確率を求めなさい。
（１）　450以上
（２）　４の倍数
（３）　各位の数の和が１５
（４）　３の倍数

立教新座高等学校２０２１

　後に何が出ても・・・　先に何が出てても・・・　目を向けるところだけ向けて計算すればいい，という問題。（※ここまで来ると，実は確率の和の法則・積の法則を使ってもいいのだけど・・・という感じもする）

（１）　４５０以上ということは、１回目に５や６が出れば，２回目・３回目に何が出ようとも条件を満たしている。１回目に５が出るのは３６通り。１回目に６が出るのも３６通り。
　で、１回目に４が出て条件を満たすのは（４５１、４５２，４５３，４５４，４５５，４５６，４６１，４６２，４６３，４６４，４６５，４６６）の１２通り。これらは同時に起こらないので，合わせて８４通り。したがって求める確率P1は

$${P1=\dfrac{84}{6×6×6}=\dfrac{7}{18}}$$

（２）　４の倍数は、下２桁が４の倍数であればよいので，百の位に何が出ようが関係がない。１、２、３、４、５、６の数でつくれる２桁の数で４の倍数となるのは、１２，１６，２４，３２，３６，４４，５２，５６，６４の９通り。十の位と一の位の組合せは３６通りなので、求める確率P2は

$${P2=\dfrac{9}{6×6}=\dfrac{1}{4}}$$

（３）　１～６の３数で和が１５になる組合せを小さい方から並べて書くと｛３，６，６｝■，｛４，５，６｝○，｛５，５，５｝☆　この組合せを百の位・十の位・一の位に割り振る場合の数は■が３通り、○が６通り、☆が１通りであるから，合わせて１０通り。求める確率P3は

$${P3=\dfrac{10}{6×6×6}=\dfrac{5}{108}}$$

（４）和によって場合分けをする。
　和が３になる組合せは｛１，１，１｝☆のみで，その場合の数は１通り。
　和が６になる組合せ｛１，１，４｝■，｛１，２，３｝○，｛２，２，２｝☆で，すべての場合の数は６＋３＋１＝１０通り。
　和が９になる組合せ｛１，２，６｝○，｛１，３，５｝○，｛１，４，４｝■，｛２，２，５｝■，｛２，３，４｝○，｛３，３，３｝☆で，すべての場合の数は６＋６＋３＋３＋６＋１＝２５通り。
　和が１２になる組合せ｛１，５，６｝○，｛２，４，６｝○，｛２，５，５｝■，｛３，３，６｝■，｛３，４，５｝○，｛４，４，４｝☆で，すべての場合の数は６＋６＋３＋３＋６＋１＝２５通り。
　和が１５になる組合せは（３）のように１０通り。
　和が１８になる組合せは｛６，６，６｝☆のみで，その場合の数は１通り。
　これらは同時に起こらないので、すべての場合の数は７２通り。求める確率P4は

$${P4=\dfrac{72}{6×6×6}=\dfrac{1}{3}}$$

類題：東大和学園高等学校2021

次の問題はさいころではないが。

【問題４】　３つの袋Ａ，Ｂ，Ｃがあり、どの袋にも１から１０までの数が１つずつ書かれた１０個の玉が入っている。袋Ａ，Ｂ，Ｃから玉を１個ずつ取り出し，取り出した玉に書かれた数をそれぞれａ，ｂ，ｃとするとき、次の確率を求めよ。
（１）　ａ，ｂ，ｃがすべて異なる確率
（２）　ａ＋ｂ＋ｃ＝１０かつａ≦ｂ≦ｃである確率
（３）　ａ，ｂ，ｃの最大値が７である確率

巣鴨高等学校2020

分母は・・・10×10×10＝1000。

（1）ａの可能性が10，それに対してｂの可能性は10のうちａ以外の9，さらにｃの可能性は10のうちa，b以外の8つ、したがって（ａ，ｂ，ｃ）の組合せは１０×９×８。求める確率Ｐ１は

$${P1=\dfrac{10×9×8}{10×10×10}=\dfrac{18}{25}}$$

（2）和が10にで、ａ≦ｂ≦ｃになる（ａ，ｂ，ｃ）の組は（１，１，８），（１，２，７），（１，３，６），（１，４，５），（２，２，６），（２，３，５），（２，４，４），（３，３，４）の８（通り）。求める確率Ｐ２は

$${P2=\dfrac{8}{10×10×10}=\dfrac{1}{125}}$$

（3）最大値が７であるときの３数の組合せは
｛７、７、７｝☆・・・１通り
｛７，７，ｘ｝（ｘ＜７）　・・・ｘが１～６までの６通りに対して３通りずつあるので，１８通り
｛７，ｘ、ｘ｝（ｘ＜７）　・・・ｘが１～６までの６通りに対して３通りずつあるので，１８通り。
｛７，ｘ、ｙ｝（ｘ＜７，ｙ＜７、ｘ＜ｙ）・・・（ｘ、ｙ）の組は（１，２），（１，３），（１，４），（１，５），（１，６），（２，３），（２，４），（２，５），（２，６），（３，４），（３，５），（３，６），（４，５），（４，６），（５，６）の１５通りに対してそれぞれ６通りずつあるので、９０通り。
これらは同時に起こらないので、合わせて
１＋１８＋１８＋９０＝１２７（通り）。求める確率Ｐ３は

$${P3=\dfrac{127}{10×10×10}=\dfrac{127}{1000}}$$