山口県｜公立高校入試確率問題2020

　右の図のような，１から６までの目が出るさいころがある。
　このさいころを２回投げ１回目に出た目の数を$${m}$$，２回目に出た目の数を$${n}$$として、$${a,b,c,m,n}$$を自然数とするとき，２次式$${x^2+mx+n}$$が$${(x+a)(x+b)}$$または$${(x+c)^2}$$の形に因数分解できる確率を求めなさい。ただし，答えを求めるまでの過程もかきなさい。なお，このさいころは，どの目が出ることも同様に確からしいものとする。（改題）

さいころ２回なので表

　さいころを２回ふるので表をかきます。各マスの中に、$${x^2+mx+n}$$の式を書いておきたいので，マスがちょと横長になるように工夫します。

　因数分解できるのは、印のつけた７通りです。

答

　さいころを２回投げて出る（$${m,n}$$）の組は全部で36通りあり、そのうち条件に合う（$${m,n}$$）の組は（２，１），（３，２），（４，３），（４，４），（５，４），（５，６），（６，５）の７通りある。因数分解できる確率を求めると，$${\bm{\dfrac{7}{36}} }$$。

分類　Ａ３因数分解・２次方程式

問題を解いたあとに・・・

　条件に合う場合を独自列挙していくやり方を考えてみましょう。ここでは$${n}$$の値ごとに場合に分けて、条件に合う$${m}$$の値をそれぞれ探していくことにします。

●$${n=1}$$（かけて１）
　自然数の範囲だと１×１の組み合わせしか考えられないので、和は２。$${(m,1)=(2,1)}$$のみ。
●$${n=2}$$（かけて２）
　自然数の範囲だと１×２の組み合わせしか考えられないので、和は３。$${(m,2)=(3,2)}$$のみ。
●$${n=3}$$（かけて３）
　自然数の範囲だと１×３の組み合わせしか考えられないので、和は４。$${(m,3)=(4,3)}$$のみ。
●$${n=4}$$（かけて４）
　考えられる組み合わせは２つ、１×４→和は５と、２×２→和が４。$${(m,4)=(4,4),(5,4)}$$。
●$${n=5}$$（かけて５）
　自然数の範囲だと１×５の組み合わせしか考えられないので、和は６。$${(m,5)=(6,5)}$$のみ。
●$${n=6}$$（かけて６）
　考えられる組み合わせは２つあって、１×６→和は７と、２×３→和が５。ところが$${n}$$の値は６までしかとれないので、条件にあてはまるのは$${(m,5)=(5,6))}$$の１つだけ。