石川県｜公立高校入試確率問題2017

　右の図のように，２点Ａ（６，８），Ｂ（８，６）を結んだ線分ＡＢがある。

　１つのさいころを２回投げて，１回目に出た目の数を$${x}$$座標，２回目に出た目の数を$${y}$$座標とする点Ｐをとる。
　このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。ただし，１から６までの目の出かたは同様に確からしいものとする。
（１）　点Ｐの$${x}$$座標と$${y}$$座標が等しくなる場合は全部で何通りあるか，求めなさい。
（２）　直線ＯＰが線分ＡＢ上の点を通らない確率を求めなさい。
（３）　△ＰＡＢの面積が４になる確率を求めなさい。また，その考え方を説明しなさい。説明においては，図や表，式などを用いてよい。

融合《Ｃ２》座標・関数-２直線の交点、《Ｄ１》座標平面上の図形-面積

（１）は、読み替え

　まずは（１）、点Ｐの$${x}$$座標と$${y}$$座標が等しくなる場合ということは、単純に １回目に出た目の数と２回目に出た目の数が等しい場合を考えればよいです。表や図に書き込むまでもなく、１～６の６通りというので良いでしょうか？

（２）は定規で線をかいて数える

　直線ＯＰが線分ＡＢ上の点を通らない場合とは、△ＯＡＢの中に点Ｐがないとき、ということがわかりますでしょうか。
　与えられた図の中に、ＯＡとＯＢを定規で引いて、その線上か内部にある点の方が少なそうなので、$${x}$$座標と$${y}$$座標がそれぞれ１～６の範囲で点の数を数えましょう。

　直線ＯＰが線分ＡＢ上の点を通る場合は１２通りですね。その確率は$${\dfrac{12}{36}}={\dfrac{1}{3}}$$。ですから、直線ＯＰが線分ＡＢ上の点を通らない確率は、１－$${\dfrac{1}{3}=\bm{\dfrac{2}{3}}}$$と求めることができます。

（３）は、どうやって三角形の面積を求める？

　三角形の面積といえば、まずは公式（底辺）×（高さ）÷２ですが、どこを底辺にして、どこを高さにしましょうか？　「等積変形」の考え方を使えば、ＡＢを底辺にして、ＡＢに平行な直線上なら同じ面積になりますね。

　線分ＡＢの長さは（三平方の定理より）$${2\sqrt{2}}$$です。面積が４になるためには高さは$${2\sqrt{2}}$$であればいいですので、ＡＢに平行で距離が$${2\sqrt{2}}$$の直線を考えます。右上の方はさいころの目で出せる場所ではないので、考えなくてよいですね。
　解答としてまとめると、「答」のようになります。

答

（1）6通り　（2）$${\bm{\dfrac{2}{3}}}$$　
（3）$${\bm{\dfrac{1}{12}}}$$
（説明）
　△PABにおいて底辺をABとしたときの高さを$${h}$$とおく。ABの長さを求めると$${\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}}$$なので、△PAB＝$${2\sqrt{2}×h÷2}$$=4が成り立つ。これを$${h}$$の方程式として解くと、
$${h=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}}$$
　$${h}$$は点Ｐと線分ABからの距離をあらわし、線分ABと平行で距離が$${2\sqrt{2}}$$である直線上にある。この直線は図のようになるが、これらの直線上にある点でさいころで出すことができるのは（６，４），（５，５），（４，６）の３通りである。したがって、その確率は$${\dfrac{3}{36}=\bm{\dfrac{1}{12}}}$$である。