大学入学共通テスト　2021　本試｜大学入試問題なのに中学確率で解ける問題

　当たりくじが１本ではずれくじが１本入っている箱Ａと，当たりくじが１本ではずれくじが２本入っている箱Ｂの二つの箱の場合を考える．
　各箱で，くじを１本引いてはもとに戻すことを３回繰り返したとき，
　　　箱Ａにおいて，３回中ちょうど１回当たる確率は［　①　］，
　　　箱Ｂにおいて，３回中ちょうど１回当たる確率は［　②　］
である．

大学入学共通テスト　2021　本試　【３】（１）（ｉ）太字部分改題

分類　２３　（コイン以外の）お互いに影響しない３つ以上の偶然

箱Ａは・・・

　偶然が３回起こりますので、樹形図をかきます。当たりくじを〇、はずれくじを●として図をかきましょう。

　すべての場合の数は８通り。そのうち３回中ちょうど１回当たる条件に当てはまるのは３通りですので、その確率は$${\bm{\dfrac{3}{8}}}$$です。

箱Ｂは・・・

　偶然が３回起こりますので、樹形図をかきます。はずれくじは２本ありますから、「同様に確からしい」ことがらに分けるために、はずれくじ２本を区別して①と②としておきます。ここでは、当たりくじを☆にして図をかくことにします。ちなみに、樹形図は問題用紙の空白や計算用紙にかくことになるわけですが、スペースが十分にあるとも限りません。このぐらい複雑になるときには、１本の「樹」のかたちにこだわらず、次のような３本の樹に分けてかいた方が、樹がゆがまなくてよいでしょう。（横に分けてある中学教科書もあるのですが、なぜそうするかまでは書いてませんし、先生も教えてくれるのかどうか・・・）

　というわけで、すべての場合は２７通り、そのうち３回中ちょうど１回当たる条件に当てはまるのは１２通りですので、その確率は$${\dfrac{12}{27}=\bm{\dfrac{4}{9}}}$$です。

答

①$${\bm{\dfrac{3}{8}}}$$（２点）　　②$${\bm{\dfrac{4}{9}}}$$（３点）

大学受験生だったら・・・

（レベル３の解き方）

分母：反復試行なので、それぞれ$${2^3=8}$$、$${3^3=27}$$。
分子：①は、〈１回目〉〈２回目〉〈３回目〉のどれか１つだけ当たりで、ほかははずれなので、３つのうちどれか１つが当たりであるかを選ぶことと同じ、と発想すればいい。つまり［１回目が当たり］［２回目が当たり］［３回目が当たり］の３通り。小難しく考えるなら$${_3 \mathrm{C}_1}$$。
　②は、｛☆①①｝｛☆②②｝のパターンについては、①同様３通りずつ、合わせて６通りあり、｛☆①②｝のパターンについては$${_3 \mathrm{P}_3=6}$$通りあるので、計１２通り。

　とまあやってきましたがでも、実際に出題されたの問題文は以下の通りで、念頭に置いているのは「レヴェル５〜６」の解き方です。

　当たりくじを引く確率が$${\dfrac{1}{2}}$$である箱Aと，当たりくじを引く確率が$${\dfrac{1}{3}}$$である箱Bの二つの箱の場合を考える．
　各箱で，くじを本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したとき，
　　　箱Ａにおいて，３回中ちょうど１回当たる確率は［　①　］，
　　　箱Ｂにおいて，３回中ちょうど１回当たる確率は［　②　］
である．

大学入学共通テスト　2021　本試　【３】（１）（ｉ）改題なし

　この問題文を、上のように２本に1本当たりくじとか、3本に１本 当たりくじのように「読み替えれば」中学の確率問題として解けます、というわけです。「中学の確率問題」そのものというのには、無理があるかな？　ただ、確率の意味をしっかり捉えられていれば、上位層にはこの読み替えにも取り組んでみてもらいたいところです。

（レベル６「反復試行の公式」での解き方）

　ここは、公式での解き方を教えるのが主眼ではないですので、ぶち込んだ式だけを見て分かる人だけ分かれば良いことにします。
①に入るのは$${_3 \mathrm{C}_1}$$・$${\left(\dfrac{1}{2}\right)^1}$$・$${\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{8}}$$、
②に入るのは$${_3 \mathrm{C}_1}$$・$${\left(\dfrac{1}{3}\right)^1}$$・$${\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{12}{27}= \dfrac{4}{9}}$$。