神奈川県｜公立高校入試確率問題2019

　右の図１のように１，２，３，４，５の数が１つずつ書かれた５枚のカードがある。
　大，小２つのさいころを同時に１回投げ，大きいさいころの出た目の数を$$[a}$$，小さいさいころの出た目の数を$${b}$$とする。出た目の数によって、次の【ルール①】にしたがって自然数$${n}$$を決め，【ルール②】にしたがってカードを取り除き，残ったカードに書かれている数について考える。
【ルール①】　$${a>b}$$のときは$${n=a-b}$$とし，$${a≦b}$$のときは$${n=a+b}$$とする。
【ルール②】　図１の５枚のカードから，１枚以上のカードを取り除く。このとき，取り除くカードに書かれている数の合計が$${n}$$となるようにする。また，取り除くカードの枚数ができるだけ多くなるようにする。なお、取り除くカードの枚数が同じ場合には、書かれている数の最も大きいカードを含む組み合わせを取り除く。

例　大きいさいころの出た目の数が１，小さいさいころの出た目の数が４のとき，$${a=1，b=4}$$だから、$${a<b}$$となり【ルール①】により，$${n=1+4=5}$$となる。
　【ルール②】により，取り除くカードに書かれている数の合計が５となるのは[５]のみの場合，[１]と[４]の場合，[２]と[３]の場合の３通りがある。ここで，取り除くカードの枚数ができるだけ多くなるようにするので，[１]と[４]の場合，[２]と[３]の場合のどちらかとなる。書かれている数の最も大きいカードは[４]であるから，このカードを含む組み合わせである[４]のカードを取り除く。この結果，残ったカードは図２のように，[２]，[３]，[５]となる。

　いま，図１の状態で，大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

(ア)　残ったカードが，５と書かれているカード１枚だけとなる確率を求めなさい。（選択肢から改題）

(イ)　残ったカードに書かれている数の中で最小の数が３となる確率を求めなさい。

分類：応用〈４〉　取り除く

まずは表をかいてしまいましょう。

　表をかいて、$${n}$$の値を入れておきます。

（ア）残ったカードが［５］１枚ということは、残りのカードの和を考えればよい。１＋２＋３＋４＝１０なので、$${n}$$=10になる確率を考えればよいでしょう。表を見ると、２通りありますので，その確率は$${\dfrac{2}{36}=\bm{\dfrac{1}{18}}}$$です。

（イ）
　まず各$${n}$$の値ごとに、どのカードを取り除いて，どのカードが残るのかを考えます。
●$${n}$$=1　のとき　［１］を取り除くしか考えられない。
●$${n}$$=2　のとき　［２］を取り除くしか考えられない。
●$${n}$$=3　のとき　［３］または［１］と［２］★
●$${n}$$=4　のとき　［４］または［１］と［３］
●$${n}$$=5　のとき　［５］または［１］と［４］または［２］と［３］
●$${n}$$=6　のとき　［１］と［５］または［２］と［４］または［１］と［２］と［３］
●$${n}$$=7　のとき　［２］と［５］または［３］と［４］または［１］と［２］と［４］★
●$${n}$$=8　のとき　［３］と［５］または［１］と［２］と［５］★または［１］と［３］と［４］
●$${n}$$=9　のとき　［４］と［５］または［１］と［３］と［５］または［２］と［３］と［４］
●$${n}$$=10　のとき　［１］と［４］と［５］または［２］と［３］と［５］または［１］と［２］と［３］と［４］
●$${n}$$=11　のとき　［２］と［４］と［５］または［２］と［４］と［５］または［１］と［２］と［３］と［５］
●$${n}$$=12　のとき　［３］と［４］と［５］またはまたは［１］と［２］と［４］と［５］★

　このうち、残ったカードに書かれている数の中で最小の数が３となるのは、［１］と［２］のカードが取り除かれ、３のカードは残る場合ですから、★をつけた$${n}$$=3,7,8,12の４つの場合。

　先ほどかいた表のなかで、$${n}$$が上記のいずれかの場合をとるのは、表の中で✔印をつけた１１通り。

　ですから、確率を求めると$${\bm{\dfrac{11}{36}}}$$となります。

答

（ア）　$${\bm{\dfrac{1}{18}}}$$　　　（イ）　$${\bm{\dfrac{11}{36}}}$$

問題を解いたあとに

　（イ）は確率の問題というよりも、$${n}$$の値によって「どのカードを取り除く（残す）のか」をまず考えなければなりません。

　［１］と［２］のカードが取り除かれ、［３］のカードは残る場合、というところから，残るカードの可能性、というアプローチもあります。残るカードが
●［３］　→　$${n}$$=12
●［３］と［４］　→　$${n}$$=8
●［３］と［５］　→　$${n}$$=7
●［３］と［４］と［５］　→　$${n}$$=3
が考えられます。このときは、$${n}$$がその値をとるとき、確かにそれが条件に合ったカードの取り除き方か、ということをチェックする必要があります。こちらの方が、チェックする時間が少なく済むかも知れません。とにかく、いろんなことを考えなければいけない問題で，頭を切り替えて、今自分は何をやっているかを見失わないようにしなければなりません。