熊本県Ｂ｜公立高校入試確率問題2018

　下の図１のように，１，２，３の数字が１つずつ書かれた３個の赤玉と１，３の数字が１つずつ書かれた２個の白玉が入った袋がある。また，下の図２のように，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点とする正方形がある。点Ｐは最初，正方形の頂点Ａの位置にあり，次の操作を２回続けて行い，Ｐを移動させる。

〈操作〉
　袋の中から玉を１個取り出す。
・玉の色が赤色のときは，Ｐを時計の針の回転と同じ向きに，玉に書かれた数だけ頂点から頂点へ正方形の辺上を移動させる。
・玉の色が白色のときは，Ｐを時計の針の回転と反対の向きに，玉に書かれた数だけ頂点から頂点へ正方形の辺上を移動させる。
　Ｐを移動させた後，玉を袋の中にもどす。

　例えば，１回目に２の数字が書かれた赤玉を取り出し，２回目に３の数字が書かれた白玉を取り出したとき，Ｐの最後の位置はＢである。

①　１回目に１の数字が書かれた白玉を取り出し，２回目に２の数字が書かれた赤玉を取り出したとき，Ｐの最後の位置を求めなさい。

②　次の［　ア　］にはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのいずれかを，［　イ　］には数を入れて，文を完成しなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。
　２回の操作のあと，Ｐの最後の位置となる確率が最も高い頂点は［　ア　］で，その確率は［　イ　］である。

分類：応用〈２〉　動かす②　循環型

①は、ゆっくり考えます。

　１回目、１の数字が書かれた白玉なので反時計回りに１つ動いてPはBのいちに，そして２回目に２の数字が書かれた赤玉なのでそこから時計回りに２つ動きます。PはDの位置に動くのですね。

②は表をかいてみるけど・・・？

　どんな表をかいて考えましょうか。ここでは、1回目の取り出した玉の結果によってまずPがどこにいるかを書いておいて、次を考えることにします。
　すると、「赤の1」「白の3」が出たときは同じDの位置にあります。「赤の３」［白の１」が出たときには同じＢの位置にあります。そして，どこからスタートしても2回目に「赤の３」と「白の１」は結局同じ位置にあることがわかります。そうすると、表を埋めるのも同じことを書けばよいので、楽になります。
　というわけで、表の各枠には2回目の結果を埋めていくことにしましょう。

　でき上がった表を見ると、
Ａ→９通り
Ｂ→４通り
Ｃ→８通り
Ｄ→４通り
　最終的にAに止まっていることが多く、その場合の数は９通り、したがって求める確率も$${\bm{\dfrac{9}{25}}}$$となります。

答

①　　Ｄ　　　②　ア　Ａ　　　　イ　$${\bm{\dfrac{9}{25}}}$$