大阪府B｜公立高校入試確率問題2015

　アルファベットの書いてある６枚のカード[Ａ]，[Ｂ]，[Ｃ]，[Ｄ]，[Ｅ]，[Ｆ]が，右図のように，左から右へとアルファベット順に横１列に並んでいる。

　大小二つのさいころを同時に投げ，大きいさいころの出る目の数を$${a}$$，小さいさいころの出る目の数を$${b}$$とする。$${a}$$と$${b}$$とが異なる場合は，左から$${a}$$番目のカードと左から$${b}$$番目のカードとを交換し，$${a}$$と$${b}$$とが等しい場合は，カードを交換しないことにする。大小二つのさいころを同時に投げるとき，カード[Ｃ]がカード[Ｄ] より右側になる確率はいくらですか。１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとして答えなさい。

分類：応用〈５〉　並べ替える

大きいサイコロで１，２，……と順番に考えていく

　表を書いて、一つ一つ順番に考えていきましょう。

●大きいサイコロで１の目が出るとき
　[Ａ]のカードと何かを交換するわけですが、カード[Ｃ]がカード[Ｄ] より右側になるのは[Ｄ]のカードと交換するときだけです。つまり小さいサイコロで４が出るとき，ということになります。（１，４）のところに印をつけておきます。

●大きいサイコロで２の目が出るとき
　[Ｂ]のカードと何かを交換するわけですが、カード[Ｃ]がカード[Ｄ] より右側になるのは[Ｄ]のカードと交換するときだけです。つまり小さいサイコロで４が出るとき，ということになります。（２，４）

●大きいサイコロで３の目が出るとき
　[Ｃ]のカードと何かを交換するわけですが、カード[Ｃ]がカード[Ｄ] より右側になるのは[Ｄ]，[Ｅ]，[Ｆ]のカードと交換するとき，ということになります。つまり小さいサイコロで４、５，６が出るとき，ということになります。（３，４），（３，５），（３，６）

●大きいサイコロで４の目が出るとき
　[Ｄ]のカードと何かを交換するわけですが、カード[Ｃ]がカード[Ｄ] より右側（つまりカード[Ｄ] をカード[Ｃ]より左側）になるのは[Ａ]，[Ｂ]，[Ｃ]のカードと交換するとき，ということになります。つまり小さいサイコロで１、２，３が出るとき，ということになります。（４，１），（４，２），（４，３）です。

●大きいサイコロで５の目が出るとき
　[Ｅ]のカードと何かを交換するわけですが、カード[Ｃ]がカード[Ｄ] より右側になるのは[Ｃ]のカードと交換するときです。つまり小さいサイコロで３が出るとき，ということになります。（５，３）

●大きいサイコロで６の目が出るとき
　[Ｆ]のカードと何かを交換するわけですが、カード[Ｃ]がカード[Ｄ] より右側になるのは[Ｃ]のカードと交換するときです。つまり小さいサイコロで３が出るとき，ということになります。（６，３）

　

答

$${\bm{\dfrac{5}{18}}}$$

問題を解いたあとで

次のように場合分けも考えられます。

１　$${a}$$と$${b}$$とが等しい場合：交換しないので、カード[Ｃ]はカード[Ｄ]より左側にある→全て×

２　$${a}$$と$${b}$$がいずれも１か２か５か６の場合：カード[Ｃ]とカード[Ｄ]はどちらも交換に関係ないので、カード[Ｃ]はカード[Ｄ]より左側にある→全て×

３　$${a}$$と$${b}$$のどちらかが３で、もうひとつが４である場合：カード[Ｃ]とカード[Ｄ]とが交換されてカード[Ｃ]はカード[Ｄ]より右側にある→全て○

４　$${a}$$と$${b}$$のどちらかが３で、もうひとつが４以外である場合：カード[Ｃ]が、カード[Ｄ]以外と交換される
○カード[Ｃ]はカード[Ｄ]より右側にくるのはＥかＦと交換する場合→$${a}$$と$${b}$$のどちらかが３で、もうひとつが５か６である場合
×カード[Ｃ]はカード[Ｄ]より左側にくるのはＡかＢと交換する場合→$${a}$$と$${b}$$のどちらかが３で、もうひとつが１か２である場合

４　$${a}$$と$${b}$$のどちらかが４で、もうひとつが３以外である場合：カード[Ｄ]が、カード[Ｃ]以外と交換される
○カード[Ｃ]はカード[Ｄ]より右側にくる（カード[Ｄ]がカード[Ｃ]より左側に来る）のはＡかＢと交換する場合→$${a}$$と$${b}$$のどちらかが４で、もうひとつが１か２である場合
×カード[Ｃ]はカード[Ｄ]より左側にくる（カード[Ｄ]がカード[Ｃ]より右のまま）のはＥかＦと交換する場合→$${a}$$と$${b}$$のどちらかが４で、もうひとつが５か６である場合

　表より，これで全て調べ尽くしていることがわかります。

　○がついているのは，表の３６マスのうちの１０マスですので、求める確率は$${\dfrac{10}{36}=\bm{\dfrac{5}{18}}}$$。