基礎編２６＊　「偶然３つ以上の分母⑤」【研究】くじで委員を選ぶ・座席を決める

　手法としては、これまで解説してきたことの中で解けるけど、特に「パターン」として練習しておいた方がよい問題を【研究】として取り上げます。

　その最初が、このくじで選ぶの問題。

　４人の生徒Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの中から，くじびきで２人の当番を選ぶとき，ＡとＢが同時に選ばれる確率を求めなさい。 （山梨県2012）

問題を解く前に。

　中学校の公立高校の入試問題は大まかに２つのパターンに分かれます。

（パターン１）　だれもが誤解のないように、細かい手続きを細かく細かーく丁寧に一つ一つ、つぶさに書きすぎて、実はしっかり読まないとなんだかよく分からなくなりそうだけど、言っていることはとっても単純な問題。

（パターン２）　ざっくりな問題。

実は、これまではパターン１、偶然を発生させる手続きについては、だれもが誤解のないように、つまり「問題文からは、こうも解釈できるから、そうすると確率が変わって、答え違いますよね」って高校や教育委員会に異義や苦情や来ないように、だれがどう読んでも「その解釈はできないだろう」っていうふうに、事細かに偶然の起こし方を書いているパターンです。

もうひとつは、ざっくりな問題。この問題では「くじびきで２人を選ぶ」としか書いていません。でも、どんなクジを用意して、だれがどういう順番でひいて２人を選ぶのかは、問題文には書いていない。

　いくつか考えられると思うけど、クジ引きするにしても思いつくだけで２つの決め方があります。

【クジでの決め方　その１】　「当番」「当番」「（無印）」「（無印）」のクジを４本用意して、（ジャンケンかなんかで順番を決めてもらって）、Ａ～Ｄに１本ずつひいて「元にもどさず」次の人にひいてもらう。もちろん「当番」をひいた人が当番。

【クジでの決め方　その２】　「Ａ」「Ｂ」「Ｃ」「Ｄ」と書いてあるクジを４本用意して、（４人の中でだれかジャンケンするとか、別のＥさんにお願いして）同時に２本ひいてもらう。出てきた名前の人が当番。

　え？　決め方その１と決め方その２で確率変わらない？　・・・と思うかも知れませんが、実は変わらないんです。苦情は来ません。いや、苦情を言う人は、確率は計算できないってことがバレバレのクレーマーということになります。だからこそ、問題文はざっくりなのです。

　また、ここで重要なのは、【決め方　その１】で、

くじをひく順番によって、その人が当たる確率は変わらない

ということが関係してきます。教科書では（どの教科書でもだいたい）「５本のうち３本のあたりが入っているくじを、ひいたあと戻さずにすると、１番目にひくのと２番目にひくのとでは確率が変わらない」ということを試しに確かめています。

　実は、どんな場合でも

くじをひく順番によって、その人が当たる確率は変わらない

ということを信用してもらえれば、【決め方その１】でもいいわけです。で、たぶん【決め方その２】と確率は変わらない、ということなのです。

【決め方１】

順番で確率は変わらない、ということを信じてＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順でくじをひくことにします。４本のクジに同様に確からしいことが分かるように①、②、３，４という番号にしておいて、①か②をひいたら当番、と言うことにしておきます。

　お暇な方は、Ａが１番でＢが２番のとき、Ａが１番でＢが３番のとき、Ａが３番でＢが１番のとき・・・・などなどで、確率が変わるか同か、試してみてもいいですが、ま、

くじをひく順番によって、その人が当たる確率は変わらない

ということを信じてもらうのが早そうです。

　で、確率は４／２４＝１／６です。

【決め方その２】

　Ａ～Ｄの４本クジを用意して、Ｅさんに２本同時にひいてもらうやり方です。偶然は２回起こりますので、表はこうなります（基礎編８参照）

　というわけで、確率1／6。決め方１と２で同じでしたね。

答えは・・・

１／６

問題を解いたあとに・・・

　ではあなたはどちらの決め方で委員を２人選び出しますか？　というのも面白い問題ですが、これはあくまで確率の求め方の問題。どうやって決めようと、クジで決めると確率はおんなじなのよね～。・・・ということの裏側に、【決め方１】で決めようとすると実は，くじをひく順番によって確率は変わらないという中学の数学では数学的に確かめることのできない知識、「暗黙の了解」を使う、という話なのでした。いくつかやって見せて，ホラ、同じになるでしょ、と，中学校の確率では感覚的にしか「了解」してもらえないのです。ま、しょうがないんですけどね。でも、直観的に「いやーひく順番変わると，さきに当たりをひかれてしまうと不利になるし、先にはずれをひいてもらえれば有利になるでしょう」という感じにもなりそうなので、これがややこしいのです。

問題を解いたあとに・・・２

　特にクジの問題は「自分の力で当たりを引き寄せたい」という思いが働きがちです。たとえばクジを使って次のような決め方もできますかね。ジャンケンで当番を決めるときの勝ち残り・負け残りのようなイメージです。

【決め方３】　４人のうち２人決まればいいので、確率１／２で委員になると考えて「○」「×」と書いた（使い回しのできる）クジを用意する。

　最初のターンで、４人が順番にくじをひいて、それをもどして次の人がひく、というくじのひき方をする。○の人が２人いたら、その２人が「当番」確定となり、それで終わり。○をひいた人が１人だけなら、その時点でその人は「当番」が確定。×をひいた人が１人だけなら、その時点でその人は「当番じゃない」が確定。

　確定していない人で次のくじびきターンを繰り返す。次のターンで、先に「当番」「当番じゃない」が確定した人を含めて「当番じゃない人が２人」「当番が２人」確定したら、その時点で終了。２人の当番が確定するまでくじびきターンを繰り返す。

　例えば、初回に○３人、×１人だったら、×の人は「当番じゃない」が確定して、○の３人の中で２人の当番を決めるためもう一度くじびきをする。２回目のターンで○が２人だったら、自動的にその人たちが当番。２回目のターン○が１人×が２人だったら、２回目で○の人が当番確定。次のターンで（１回目で×の人は当番じゃないが確定しているので）残りの２人でくじびきをして、当番がもう一人確定するまで繰り返す・・・

・・・のような感じで、とにかく自分がひいたくじの結果によって自分が当番か当番にならないかが決まるようなシステムの方が、自分のひいたくじの結果の責任で当番になるかならないかが決められるので、気持ち的にはすっきりする、というのがポイントなような気がするのです。しかーし、このやり方では何度もくじをひくことになり、想像しているように延々と決まらない可能性もあります。

　もっというと、この決め方３でも「いや、くじをひく順番を決めておかないと、有利不利が生まれるのではないか？」という疑義をはさむ人もいるかも知れません。あーめんどくさい。

　確率的には（数学的な説明は中学ではできないのですが）１～３のどの決め方をしても、最初と最後だけを考えればひく順序関係なく確率は同じになるのです。だから、このことを常識というか、深く考えずにというか、納得して決めることができればいいのですがね。たぶん「自分が運を引き寄せる力」みたいなものを信じたい気持ちが働いて、あくまで「人がひいたくじで自分の運命は左右されたくない！」と思うので、うまく行かないのですね。【決め方３】のように、自分がひいたくじの結果で自分の運命が決まっているように見えても、結局自分以外の人のひいたくじの結果で次のターンが始まったりする・・・ということに気づくと「実は自分の力だけでは決まっていない」と腹落ちするでしょうか。
　なかなか難しい問題なのです。たとえば「自分が運を引き寄せる力」みたいなものは、ソシャゲのガチャのような形で誘惑をしてくるのでタチが悪い・・・おおっと字数が尽きたようだ。

類題　和歌山県2022　岩手県2021　長野県2021　奈良県2019　静岡県2018　大阪府A2015　熊本県2011　福岡県2006　

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