石川県｜公立高校入試確率問題2023

　図１のように箱の中に，箱の中に１，２，３の数字が１つずつ書かれた３個の赤玉と，１，２の数字が１つずつ書かれた２個の白玉が入っている。
　このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。

(1)　箱から玉を２個同時に取り出すとき，玉に書かれた数の和が４になる玉の取り出し方は，全部で何通りあるか，求めなさい。

(2)　図２のように，座標軸と原点Ｏがある。
　箱から玉を１個ずつをもとにもどさずに続けて２回取り出す。１回目に取り出した玉の色と数字によって，点Ｐを□の中の規則にしたがって座標軸上にとる。
　また，２回目に取り出した玉の色と数字によって，点Ｑを□の中の規則にしたがって座標軸上にとる。
〈　規則　〉
・赤玉を取り出したときは，玉に書かれた数を$${x}$$座標として$${x}$$軸上に点をとる。
・白玉を取り出したときはを玉に書かれた数を$${y}$$座標として$${y}$$軸上に点をとる。
　このとき，Ｏ，Ｐ，Ｑを線分で結んだ図形が三角形になる確率を求めなさい。また，その考え方を説明しなさい。説明においては，図や表，式などを用いてよい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいとする。

分類：《Ｄ３》座標平面上の図形-角度

同時に２つ取り出すそのことが

　「同時に２つ取り出す」なので，表を考えます。
　対角線を消して，左下を消したＣ型の表をかいて考えるのがよいですね。

　赤玉をただの［１］　白玉を［①］のようにかいて区別します。（もちろん赤１，白１とか，Ｒ１，Ｗ１のようにかいてもいいです。）

　当てはまる「２つの玉に書かれた数の和が４になる」場合は，表のように３通りあります。

（２）三角形ができる条件とは？

　３つの点が一直線に並ぶと，三角形にはなりません。そのことが２回とも同じ色だと，どちらかの座標軸上に３つの点が並ぶことになります。それ以外，つまり１回目と２回目が異なる色を取り出すなら，Ｏ，Ｐ，Ｑを線分で結んだ図形は三角形になります。
　つまり結局は「１回目に取り出した玉の色」と「２回目に取り出した玉の色」が異なる確率は？　ということになります。
　まず，この「言い換え」に気づけるかどうか。

　そこさえ押さえれば，あとは表（や図）をかいて数えるだけ。もとに戻さずに続けて２回取り出しますので（１）と違って，順序がありますので，対角線だけを消して，左下を消さない（Ｐ型の）表をかいて，すべての場合を考えることになります。

　当てはまる場合は１２通りで，起こりうるすべての場合は２０通りありますので，求める確率は$${\dfrac{12}{20}=\bm{\dfrac{3}{5}}}$$

答

（１）３通り　
（２）$${\bm{\dfrac{3}{5}}}$$
Ｏ，Ｐ，Ｑを線分で結んだ図形が三角形になるのは，「１回目に取り出した玉の色」と「２回目に取り出した玉の色」が異なるときなので，その確率を求めればよい。
赤球を１・２・３，白球を①・②と表して表をかくと，上の表のとおりで，起こりうるすべての場合の数は２０通りで，玉の色が異なる場合は１２通りであるから，その確率は$${\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}}$$と求められる。

【研究】確率の積の法則で解けるのだが・・・

　（２）について，中学標準レベルなら以上でおしまいでよいでしょう。これを確率の積の法則を使いこなせる上位層の子たちが解いたら・・・？　というか，高校の試験や大学入試で求められる答案ということで考えてみます。

　１回目と２回目で異なる色の玉を取り出せばすのですから，（１）１回目で赤玉をひく場合と，（２）１回目で白玉をひく場合に分けて考えます。
（１）１回目に赤玉・２回目に白玉をひく場合
　１回目に５個の玉の中から３個の赤玉のうちの１つ，２回目に残り４個の玉の中から２個の白玉のうちの１つをひけばよいのですから，その確率は
$${\dfrac{3}{5}×\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}}$$
（２）１回目に白玉・２回目に赤玉をひく場合
　１回目に５個の玉の中から２個の白玉のうちの１つ，２回目に残り４個の玉の中から３個の赤玉のうちの１つをひけばよいのですから，その確率は
$${\dfrac{2}{5}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{10}}$$
　（１）と（２）は同時には起こらないので，（１）か（２）のどちらかが起こる確率は，
$${\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5}}$$
と求めるのが高校生っぽい（高校の試験や大学入試における）解き方になります。
　う～ん，考え方を書きなさいとなっているので，積の法則を使いこなしている上位層は，たぶんこういう解答を高校入試の答案に書くことになるのではと思うのですが，果たしてこれで逆に○をもらったのかどうかは気になるところ。
　ちなみに解答例は樹形図をかいてます。