神奈川県｜公立高校入試確率問題2021

　右の図１のように，３つの箱Ｐ，Ｑ，Ｒがあり，箱Ｐには１，２，４の数が１つずつ書かれた３枚のカードが，箱Ｑには３，５，６の数が１つずつ書かれた３枚のカードがそれぞれ入っており，箱Ｒには何も入っていない。
　大，小２つのさいころを同時に１回投げ，大きいさいころの出た目の数を$${a}$$小さいさいころの出た目の数を$${b}$$とする。出た目の数によって，次の【操作１】【操作２】を順に行い，箱Ｒに入っているカードの枚数を考える。
【操作１】カードに書かれた数の合計が$${a}$$となるように箱Ｐから１枚または２枚のカードを取り出し，箱Ｑに入れる
【操作２】箱Ｑに入っているカードのうち$${b}$$の約数が書かれたものをすべて取り出し，箱Ｒに入れる。ただし，$${b}$$の約数が書かれたカードが１枚もない場合は，箱Ｑからカードを取り出さず，箱Ｒにはカードを入れない。

図1

例
　大きいさいころの出た目の数が５，小さいさいころの出た目の数が３のとき，$${a}$$＝５，$${b}$$＝３である。
このとき，【操作１】により，カードに書かれた数の合計が５となるように箱Ｐから１と４のカードを取り出し，箱Ｑに入れる。
次に，【操作２】により，箱Ｑに入っているカードのうち３の約数が書かれたものである[１]と[３]のカードを取り出し，箱Ｒに入れる。
この結果，図２のように，箱Ｒに入っているカードは２枚である。

図2

　いま，図１の状態で，大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（ア）　箱Ｒに入っているカードが４枚となる確率を求めなさい。（改題）
（イ）　箱Ｒに入っているカードが１枚となる確率を求めなさい。

分類：応用編❽（その他）

問題の意味わかる？

　まず、問題をしっかり読んで，どうなったらどうなるのか、理解をしておかなければいけません。大きいさいころが１～６のそれぞれの場合に、Ｐの箱に残るカードと、Ｑに移すカードを確認しておきましょう。

１　Ｐに残す［１］　　　　Ｑに移す［２］［４］
２　Ｐに残す［２］　　　　Ｑに移す［１］［４］
３　Ｐに残す［１］［２］　Ｑに移す［４］
４　Ｐに残す［４］　　　　Ｑに移す［１］［２］
５　Ｐに残す［１］［４］　Ｑに移す［２］
６　Ｐに残す［２］［４］　Ｑに移す［１］

どんな表をかけば・・・

　では，どんな表をかけばよいでしょうか。ここでは、上の操作によって、Ｑの箱の中にあるカードを縦軸に、$$${b}$$の約数、つまりＱからＲに移すカード候補を横軸に並べて、Ｒの箱に入るカードを各マスの中に入れて、表をかいてみましょう。

　すべての場合の数は，例によってさいころ２つですので、３６通りなのは大丈夫でしょうか。このうち、（１）と（２）に示された条件に合うのはどこか？　ということを数えていけば、確率が計算できる、というわけです。

では確率を求めましょう。

　ここまで準備ができれば、後は条件を満たすマスを数えるだけです。
　（１）の条件を満たす場合は、表から（a,b）の組が（4,6）の場合だけで、求める確率は$${\bm{\dfrac{1}{36}}}$$。
　（２）の条件を満たす場合は、（1,2）（1,3）（1,5）（2,1）（2,2）（3,3）（3,4）（3,5）（4,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（6,1）（6,2）（6,4）の１６通り。求める確率は$${\dfrac{16}{36}=\bm{\dfrac{4}{9}}}$$。

答

（ア）$${\bm{\dfrac{１}{３６}}}$$　　　（イ）$${\bm{\dfrac{４}{９}}}$$

問題を解いたあとに・・・（１）

　箱Ｐにある［１］［２］［４］の３枚のカードのたし算で、１～６の数を一通りに表すことができる、ということが問題には書いていないけど重要な数学的事実です。（２進法というヤツで、２０年ぐらい前は中学校で習っていたのです・・・　今は高校の情報Ⅰでみっちりやるようですな）

問題を解いたあとに・・・（２）

　（ア）について、条件からさかのぼって「迎えに行く」やり方で考えてみましょう。
　Ｒに４枚あるということは、すくなくとも$${b}$$の約数が４つないといけません。$${b}$$の約数が４つあるのは、１～６の中では６だけですから、$${b=4}$$であることが最低条件となります。Ｒに入っているのは１，２，３，６ということになりますね。
　そして、そのためにはＱの箱に１と２が動いていなければなりません。そうなる$${a}$$の値は、１はダメ（１だけ）、２もダメ（２だけ）、３はＯＫ、４はだめ（４だけ）、５はだめ（１と４）、６もダメ（２と４）というわけで$${a=3}$$、つまり３６通りのうち、$${(a,b)=(3,6)}$$の１通りのみ、確率は$${\dfrac{1}{36}}$$ということになります。
　これで（ア）は乗り切れますが、（イ）は上のように表で一覧にしてしらみつぶしに考えた方がモレがなさそうですね。
　この考え方もあくまで「考え方のバリエーション」ということで触れておいて、中学段階での標準的な解き方としては（スマートなとき方からは時間がかかるかも知れませんが）やはりすべての場合を表にして、と言う琴をおすすめします。