流体力学の基礎　ナビエ・ストークス方程式

1. はじめに

空気や水の流れなどの流体の運動を扱う力学を流体力学と呼ぶ。流体力学は高校物理で扱う力学とは異なり、連続した流体（変形する）を扱うため連続体の力学と呼ばれる。これらを理解するための最初の一歩としてナビエ・ストークス方程式の物理的なイメージと導出を行う。

1.1 ナビエ・ストークス方程式とは

ナビエ・ストークス方程式（以下NS eq）は流体力学における、運動保存則言い換えれば運動方程式に当たる。出てくる文字（物理量）については後述していくため、今はNS eqがどんな方程式かを確認しておく。

$$
m\bm{a} = \bm{F} \\
\frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + (\bm{v} \cdot \nabla)\bm{v} = - \frac{1}{\rho} \nabla \bm{P} + \nu \nabla ^2 \bm{v} + \bm{f}
$$

2. 手順

1. 一般的な空間での流れを考えるのは難しいため、まず小さな立方体（微小立体）について考える。

2. 流体は微小立体に流入出するため、微小立体内の流体の運動量の収支を考える。

縦横高さ$${\Delta x, \Delta y, \Delta z}$$の微小立体について考える。流体の運動は3次元の運動なので$${x, y, z}$$それぞれについて運動量の収支を取る必要があるが、導出過程は同様のため$${x}$$成分について導出していくことにする。

2.1 運動量の増加量

運動量は質点の力学では$${m\bm{v}}$$と表される量で、流体の場合には流体の体積密度$${\rho}$$と流体が通過する立体の体積$${V}$$と流体の速度$${\bm{v}}$$を用いて、以下のように表せる。またこれ以降速度$${\bm{v}}$$を$${x, y, z}$$成分に分けて考えるため、それぞれ$${u, v, w}$$とする。すなわち$${x}$$成分の運動量は

$$
m\bm{v} =\rho V\bm{v} \\
$$

$$
mv = \rho Vu(x, y, z, t)
$$

とかける。微小立体内の$${\Delta t}$$秒後の運動量の増加量は、

$$
\{\rho u(x, y, z, t + \Delta t) - \rho u(x, y, z, t)\} \cdot \Delta x \Delta y \Delta z
$$

と書け、単位時間あたりに直すと、

$$
\frac{\rho u(x, y, z, t + \Delta t) - \rho u(x, y, z, t)}{\Delta t} \cdot \Delta x \Delta y \Delta z
$$

となり、単位時間あたりに微小立体内に蓄積していく運動量となる。

2.2 運動量の流入・流出

次に、微小立体内に流入出する運動量を考える。$${\Delta t}$$秒間の運動量は体積密度×速度×（速度×時間）×面の面積で表せるため（速度$${m/sec}$$×時間$${sec}$$×面の面積$${m^2}$$=体積$${m^3}$$）、$${\rho u^2\Delta t S}$$と書ける。従って流体の移動によって微小立体内に流入出する運動量は以下のように表せる。

$$
\{ \rho u(x, y, z, t) \cdot u(x, y, z, t) - \rho u(x + \Delta x, y, z, t) \cdot u(x + \Delta x, y, z, t) \} \cdot \Delta y \Delta z \Delta t \\ +\{ \rho u(x, y, z, t) \cdot v(x, y, z, t) - \rho u(x, y + \Delta y, z, t) \cdot v(x, y + \Delta y, z, t) \} \cdot \Delta x \Delta z \Delta t \\ + \{ \rho u(x, y, z, t) \cdot w(x, y, z, t) - \rho u(x, y, z + \Delta z, t) \cdot w(x, y, z + \Delta z, t) \} \cdot \Delta x \Delta y \Delta t
$$

流体の移動を移流と呼ぶため、上記の多項式を移流項という。これも単位時間あたりに書き直すと、

$$
\{ \rho u(x, y, z, t) \cdot u(x, y, z, t) - \rho u(x + \Delta x, y, z, t) \cdot u(x + \Delta x, y, z, t) \} \cdot \Delta y \Delta z \\ +\{ \rho u(x, y, z, t) \cdot v(x, y, z, t) - \rho u(x, y + \Delta y, z, t) \cdot v(x, y + \Delta y, z, t) \} \cdot \Delta x \Delta z \\ + \{ \rho u(x, y, z, t) \cdot w(x, y, z, t) - \rho u(x, y, z + \Delta z, t) \cdot w(x, y, z + \Delta z, t) \} \cdot \Delta x \Delta y
$$

流体の移動以外にも圧力や流体同士の摩擦によって生じる応力、その他の外力によっても運動量が流入出する。

圧力項
微小立体に作用する圧力は単位時間あたりに変換すると運動量となるため、以下のように表せる。

$$
\{p(x, y, z, t) - p(x + \Delta x, y, z, t) \} \cdot \Delta y \Delta z
$$

応力項
流体の粘性により他の位置にある流体の運動に（せん断力によって）引っ張られることから、粘性項とも呼ばれる。粘性力は$${\tau}$$で表され、$${\tau}$$（作用する面の法線方向）（作用方向）と書かれる。例：$${\tau_{xy}}$$, $${x}$$方向を法線として持つ面に$${y}$$方向に作用するせん断応力。この表記法を用いて応力項は

$$
\{\tau_{xx}(x) - \tau_{xx}(x + \Delta x)\}\cdot\Delta y \Delta z \\
+ \{\tau_{yx}(y) - \tau_{yx}(y + \Delta y)\}\cdot\Delta x \Delta z \\
+ \{\tau_{zx}(z) - \tau_{zx}(z + \Delta z)\}\cdot\Delta x \Delta y
$$

2.3 収支式

以上の項を用いて収支式を立てる。収支式は[結果]=[原因]となるため、
単位時間あたりの運動量の増加＝移流項＋圧力項＋粘性項＋外力
となる。従って

$$
\frac{\rho u(x, y, z, t + \Delta t) - \rho u(x, y, z, t)}{\Delta t} \cdot \Delta x \Delta y \Delta z = \\ 
\{ \rho u(x, y, z, t) \cdot u(x, y, z, t) - \rho u(x + \Delta x, y, z, t) \cdot u(x + \Delta x, y, z, t) \} \cdot \Delta y \Delta z \\ +\{ \rho u(x, y, z, t) \cdot v(x, y, z, t) - \rho u(x, y + \Delta y, z, t) \cdot v(x, y + \Delta y, z, t) \} \cdot \Delta x \Delta z \\ + \{ \rho u(x, y, z, t) \cdot w(x, y, z, t) - \rho u(x, y, z + \Delta z, t) \cdot w(x, y, z + \Delta z, t) \} \cdot \Delta x \Delta y \\
+ \{p(x, y, z, t) - p(x + \Delta x, y, z, t) \} \cdot \Delta y \Delta z \\
+ \{\tau_{xx}(x) - \tau_{xx}(x + \Delta x)\}\cdot\Delta y \Delta z \\
+ \{\tau_{yx}(y) - \tau_{yx}(y + \Delta y)\}\cdot\Delta x \Delta z \\
+ \{\tau_{zx}(z) - \tau_{zx}(z + \Delta z)\}\cdot\Delta x \Delta y 
$$

ここで上記の式の両辺を微小立体の体積$${\Delta x \Delta y \Delta z}$$で除すると

$$
\frac{\rho u(x, y, z, t + \Delta t) - \rho u(x, y, z, t)}{\Delta t} = \\ 
\frac{ \rho u(x, y, z, t) \cdot u(x, y, z, t) - \rho u(x + \Delta x, y, z, t) \cdot u(x + \Delta x, y, z, t)}{\Delta x} \\ 
+ \frac{ \rho u(x, y, z, t) \cdot v(x, y, z, t) - \rho u(x, y + \Delta y, z, t) \cdot v(x, y + \Delta y, z, t)}{\Delta y} \\ 
+ \frac{ \rho u(x, y, z, t) \cdot w(x, y, z, t) - \rho u(x, y, z + \Delta z, t) \cdot w(x, y, z + \Delta z, t)}{\Delta z} \\
+ \frac{p(x, y, z, t) - p(x + \Delta x, y, z, t)}{\Delta x} \\
+ \frac{\tau_{xx}(x) - \tau_{xx}(x + \Delta x)}{\Delta x} \\
+ \frac{\tau_{yx}(y) - \tau_{yx}(y + \Delta y)}{\Delta y} \\
+ \frac{\tau_{zx}(z) - \tau_{zx}(z + \Delta z)}{\Delta z}
$$

さらに$${\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0, \Delta z \rightarrow 0, \Delta t \rightarrow 0}$$として極限をとると、

$$
\rho \frac{\partial u}{\partial t} = -(\frac{\partial( \rho u \cdot u)}{\partial x} + \frac{\partial( \rho u \cdot v)}{\partial y} + \frac{\partial( \rho u \cdot w)}{\partial z}) - \frac{\partial p}{\partial x} - (\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})
$$

応力と速度の関係

$$
\tau_{ij} = \mu (\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i})
$$

を用いて、

1.1で示した式は上式の移流項を左辺に移項し、両辺を$${\rho}$$で除せば得られる。

$$
\rho \frac{\partial u}{\partial t} + (\frac{\partial( \rho u \cdot u)}{\partial x} + \frac{\partial( \rho u \cdot v)}{\partial y} + \frac{\partial( \rho u \cdot w)}{\partial z}) = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} - (\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})
$$