流体力学の基礎　NS方程式と温度輸送方程式

1. 非圧縮性流体のナビエ・ストークス方程式

非圧縮性流体では流体の密度が一定であると仮定するため、温度の違いによる密度差、即ち浮力が考慮できない。そのため、温度差が小さい場合に密度差が温度差と比例しているとみなす、ブシネスク近似で浮力を表現する。

$$
\left(\rho-\rho_0\right)g=-\rho_0\beta\left(T-T_0\right)g 
$$

したがって、ブシネスク近似を用いたナビエ・ストークス方程式は

$$
\frac{Du_i}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\nu\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)-g\beta\left(T-T_0\right)
$$

となる。

2. 非圧縮性流体のエネルギー保存則

微小立体内の熱収支を考える。単位時間当たりの熱量の増加を式で表すと

$$
c\rho(\theta\left(x,y,z,t+\Delta t\right)-\theta\left(x,y,z,t\right))\Delta x\Delta y\Delta z\Delta t
$$

となる。運動量保存則の時と同様に右辺に移流項と伝導項を合計し、整理すると

$$
c\rho\frac{\partial\theta}{\partial t}+\frac{\partial\left(c\rho\theta u\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(c\rho\theta v\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(c\rho\theta w\right)}{\partial z}=-\left(\frac{\partial q_x}{\partial x}+\frac{\partial q_y}{\partial y}+\frac{\partial q_z}{\partial z}\right)
$$

$$
where\qquad \theta:\ Temperature,\ q:\ Heat\ Flux
$$

となる。右辺にフーリエ則$${q=-\lambda\frac{\partial\theta}{\partial x}}$$を適用すると

$$
\frac{\partial\theta}{\partial t}+\frac{\partial\left(\theta u\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(\theta v\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(\theta w\right)}{\partial z}=\alpha\left(\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\theta}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\theta}{\partial z^2}\right)
$$

$$
where\ \ \ \ \alpha=\frac{\lambda}{c\rho}
$$

となり、非圧縮性流体におけるエネルギー保存則、言い換えれば、温度輸送方程式を得る。