流体力学の基礎　非圧縮性流体の連続の式

微小立体に出入りする流体

一辺が$${dx,\ dy,\ dz}$$の微小立体（メッシュ）を考える。微小立体に流入する流量を$${q_x,\ q_y,\ q_z}$$、流出する流量を$${q_{x+dx},\ q_{y+dy},\ q_{z+dz}}$$とし、$${x,\ y,\ z}$$方向の流速をそれぞれ$${u,\ v,\ w}$$とすれば、微小立体内の流量の変化が密度の変化に等しくなるため、

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}dxdydz=q_x+q_y+q_z-(q_{x+dx}+q_{y+dy}+q_{z+dz})
$$

で収支式が表せ、$${q_x,\ q_y,\ q_z}$$はそれぞれ密度、速度、面積を乗じた形の$${\rho udydz,\ \rho vdxdz,\ \rho wdxdy}$$で書けるため、

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t}dxdydz= \rho udydz+\rho vdxdz+\rho wdxdy \\-\left[\left(\rho u+\frac{\partial\left(\rho u\right)}{\partial x}dx\right)dydz +  \left(\rho v+\frac{\partial\left(\rho v\right)}{\partial y}dx\right)dxdz+\left(\rho w+\frac{\partial\left(\rho w\right)}{\partial z}dz\right)dxdy\right]
$$

となる。これを整理すると

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\left(\rho u\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(\rho v\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(\rho w\right)}{\partial z}=0
$$

となる。流体の速度が音速より十分に小さい場合には、その流体を非圧縮性流体として取り扱える。非圧縮性流体は密度が一定（$${\rho=const.}$$）であることから、

$$
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
$$

非圧縮性流体の連続の式を得る。