流体力学の基礎　RANS方程式と標準k-εモデルの基礎方程式1

レイノルズ分解とは、流れの物理量fを平均値$${\bar{f}}$$と変動量$${f^\prime}$$に分ける操作のことで、変動量の平均は０であるため、

$$
f=\bar{f}+f^\prime
$$

で表される。これを連続の式へ代入すると、

$$
\frac{\partial({\bar{u}}_i+u_i^\prime)}{\partial x_i}=0
$$

となる。ここで式全体を平均すると、

$$
\frac{\bar{{\partial\left({\bar{u}}_i+u_i^\prime\right)}}}{\partial x_i}=0
$$

となり、整理するとレイノルズ平均した連続の式が得られる。

$$
\frac{\partial\left(\bar{{{\bar{u_i}+u_i^\prime}}}\right)}{\partial x_i}=0
$$

$$
\frac{\partial\left({\bar{\bar{u}}}_i+{\bar{u^\prime}}_i\right)}{\partial x_i}=0
$$

$$
\frac{\partial{\bar{u}}_i}{\partial x_i}=0
$$

$$
where: \quad\bar{\bar{f}}=\bar{f},\quad\bar{f^\prime}=0,\quad\bar{f+g}=\bar{f}+\bar{g},\\ \qquad\bar{\bar{f}\cdot g}=\bar{f}\cdot\bar{g},\quad\bar{{\frac{\partial f}{\partial s}}}=\frac{\partial\bar{f}}{\partial s}
$$

レイノルズ平均した連続の式と同様に非圧縮性流体のナビエ・ストークス方程式にレイノルズ分解を適用すると

$$
\frac{\partial\left({\bar{u}}_i+u_i^\prime\right)}{\partial t}+\frac{\partial\left({\bar{u}}_i+u_i^\prime\right)\left({\bar{u}}_j+u_j^\prime\right)}{\partial x_j}=\\-\frac{1}{\rho}\frac{\partial\left(\bar{p}+p^\prime\right)}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\nu\left(\frac{\partial\left({\bar{u}}_i+u_i^\prime\right)}{\partial x_j}+\frac{\partial\left({\bar{u}}_j+u_j^\prime\right)}{\partial x_i}\right)\right]-g\beta\left(\bar{\theta}+\theta^\prime-\theta_0\right)
$$

となる。ここで、式全体を平均すると

$$
\frac{\bar{\partial\left(\bar{u_i}+u_i^\prime\right)}}{\partial t}+\frac{\bar{\partial\left(\bar{u_i}+u_i^\prime\right)\left(\bar{u_j}+u_j^\prime\right)}}{\partial x_j}  =\\-\frac{1}{\rho}\frac{\bar{\partial\left(\bar{p}+p^\prime\right)}}{\partial x_i}+\bar{\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\nu\left(\frac{\partial\left(\bar{u_i}+u_i^\prime\right)}{\partial x_j}+\frac{\partial\left(\bar{u_j}+u_j^\prime\right)}{\partial x_i}\right)\right]}-\bar{g\beta\left(\bar{\theta}+\theta^\prime-\theta_0\right)}
$$

ここで左辺第2項について以下の変形ができる。

$$
\bar{{\left(\bar{u_i}+u_i^\prime\right)\left(\bar{u_j}+u_j^\prime\right)}}=\bar{{\bar{u}}_i{\bar{u}}_j+\bar{u_i}u^\prime+u_i^\prime\bar{u_j}+u_i^\prime u_j^\prime}=\bar{{\bar{u}}_i{\bar{u}}_j}+\bar{\bar{u_i}u^\prime}+\bar{u_i^\prime\bar{u_j}}+\bar{u_i^\prime u_j^\prime}={\bar{u}}_i{\bar{u}}_j+\bar{u_i^\prime u_j^\prime}
$$

そのため、

$$
\frac{\partial{\bar{u}}_i}{\partial t}+{\bar{u}}_j\frac{\partial{\bar{u}}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\bar{u_i^\prime u_j^\prime}}{\partial x_j}=\\-\frac{1}{\rho}\frac{\partial\bar{p}}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\nu\left(\frac{\partial{\bar{u}}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial{\bar{u}}_j}{\partial x_i}\right)\right]-g\beta\left(\bar{\theta}-\theta_0\right)
$$

$$
\frac{D{\bar{u}}_i}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial\bar{p}}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\nu\left(\frac{\partial{\bar{u}}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial{\bar{u}}_j}{\partial x_i}\right)\right]-\frac{\partial\bar{u_i^\prime u_j^\prime}}{\partial x_j}-g\beta\left(\bar{\theta}-\theta_0\right)
$$

となる。$${\bar{u_i^\prime u_j^\prime}}$$はレイノルズ応力と呼ばれており、渦粘性係数$${\nu_t}$$を導入すると

$$
-\bar{u_i^\prime u_j^\prime}=\nu_t\left(\frac{\partial{\bar{u}}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial{\bar{u}}_j}{\partial x_i}\right)
$$

と表せるため、

$$
\frac{D{\bar{u}}_i}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial\bar{p}}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left\{\left(\nu+\nu_t\right)\left(\frac{\partial{\bar{u}}_i}{\partial x_j}+\frac{\partial{\bar{u}}_j}{\partial x_i}\right)\right\}-g\beta\left(\bar{\theta}-\theta_0\right)
$$

となりレイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式（RANS方程式）を得る。