書記の読書記録#423『統計学への確率論,その先へ: ゼロからの測度論的理解と漸近理論への架け橋』

清水 泰隆『統計学への確率論,その先へ: ゼロからの測度論的理解と漸近理論への架け橋』のレビュー

統計学への確率論,その先へ: ゼロからの測度論的理解と漸近理論への架け橋

レビュー

数理統計学と測度論・確率論のギャップを埋めるのに適した教科書。一通り眺めておくだけでも，測度論や確率論の学習の動機づけになる。

もくじ

第1章　確率モデルを作るまで
1.1 事象や観測を表現するための数学的記述
標本空間／事象：σ-加法族／実用的なσ-加法族：ボレル集合体
1.2 確率変数と確率
確率変数は観測である／“確率”とは何か？：確率と確率空間／確率測度の性質／条件付確率と2つの事象の独立性
1.3 不確実性の表現：確率分布と分布関数
分布と分布関数／ルベーグ=スティルチェス測度とルベーグ測度／様々な確率分布／1点分布：ディラック関数／ほとんど確実に？／確率空間の完備化について

第2章　分布や分布関数による積分
2.1 期待値の定義
離散型確率変数の期待値／一般の確率変数の期待値
2.2 スティルチェス積分について
ルベーグ型とリーマン型／より具体的な積分計算／積分の順序交換について：フビニの定理
2.3 分布を特徴付ける量や関数
積率(モーメント) ／分布を特徴付ける関数たち／具体例をいくつか
2.4 確率・積率に関する不等式
確率を上から評価する／積率を上から評価する

第3章　確率変数の独立性と相関
3.1 確率変数の独立性
たくさんの事象の独立性／独立な確率変数列の構成／独立な確率変数の和と再生性
3.2 確率変数の相関と条件付期待値
相関と相関係数／初等的な条件付期待値：離散型／連続型確率変数に対する条件付期待値
3.3 多変量の分布と具体例
多変量分布に対する諸注意／離散型：多項分布／連続型：多変量正規分布／多変量確率ベクトルの平均・分散共分散行列

第4章　様々な収束概念と優収束定理
4.1 確率変数列の概収束
概収束の定義／期待値と極限の交換について
4.2 様々な確率的収束の概念とその強弱
確率収束，Lp-収束，分布収束／各種収束の関係
4.3 確率変数列の同時収束
同時収束はいつ成り立つのか？／同時分布収束：スラツキーの定理／連続写像定理

第5章　大数の法則と中心極限定理
5.1 大数の法則
大数の弱法則／大数の強法則
5.2 中心極限定理
確率論における“中心的な”極限定理／統計学への応用

第6章　再訪・条件付期待値
6.1 確率変数の“情報”という概念
確率変数の情報／情報はσ-加法族？／情報の独立性
6.2 情報による条件付期待値
離散型確率変数の場合／連続型確率変数の場合／σ-加法族に関する条件付期待値
6.3 条件付期待値に関する収束定理・不等式

第7章　統計的漸近理論に向けて
7.1 漸近オーダーの表記法
ランダウの漸近記法：Oとo／確率的ランダウの記号：Opとop
7.2 概収束に関する種々の結果
ボレル=カンテリの補題／大数の強法則の証明／確率収束を概収束として扱うテクニック／分布収束を概収束として扱うテクニック
7.3 モーメントの収束について
漸近分散と分散の極限の違い？／一様可積分性とモーメントの収束
7.4 分布収束の条件を1セットに(Portmanteau?)
7.5 変換された確率変数列の分布収束：デルタ法

付録A 落穂ひろい
A.1 関数や測度の絶対連続性
測度の絶対連続性／関数の絶対連続性
A.2 無限直積空間とIID確率変数の無限列
A.3 従属に見えて実は独立な標本平均と標本分散
A.4 正則条件付分布

付録B 演習の解答

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