同値関係と両立する写像（１）

『引き起こす』のところで、集合Ｘ，Ｙの間の写像ｆ：Ｘ→Ｙが引き起こす同値関係～と単射ｇ：Ｘ／～→Ｙについて述べた。

この状況は次の意味で少し一般化される。

つまり、引き起こされた自然な写像ｇは、ｆが引き起こす同値関係～に対してでなくても少し条件を弱めて、ｆと両立するような同値関係～に対しても定まることを見よう。ただしこのときのｇは一般には単射とは限らない。

ここで、ｆが同値関係～と両立する（compatible）とは、
　ｘ～ｙ　⇒　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)
　（ｘ，ｙ∈Ｘ）
のときにいう。

ここではまずはこの事実を命題１で述べて確認しよう。

１．命題１

集合Ｘ，Ｙと写像ｆ：Ｘ→Ｙ、およびＸの上の同値関係～があるとする。

同値関係～がｆと両立するための必要十分条件は、写像
　ｇ：Ｘ／～ → Ｙ
　ｇ([ｘ])＝ｆ(ｘ)
　（ｘ∈Ｘ）
即ち、
　ｇ◦π＝ｆ
となるものが存在することである。

また、この同値な条件を満たすとき、写像ｇは一意的である。

ここで、写像π：Ｘ／～ → Ｙは自然な全射とする：
　π(ｘ)＝[ｘ]
　　　＝｛ａ∈Ｘ｜ａ～ｘ｝
　（ｘ∈Ｘ）

２．命題１の証明

先にこのようなｇの存在すれば一意的であることを示そう。
　ｇ’◦π＝ｆ
となるｇ’：Ｘ／～ → Ｙがあれば
　ｇ◦π＝ｇ’◦π
である。よってπが全射であるからＸ／～上でｇとｇ’は一致する：
　ｇ＝ｇ’

【必要性の証明】
同値関係～がｆと両立するなら、まずｇがwell-definedであること、つまり
　ｘ～ｘ’　⇒　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ’)
　（ｘ，ｘ’∈Ｘ）
であることが確認されればよいが、それはｆが～と両立するという性質そのものに他ならない。

【十分性の証明】
逆に、
　ｇ◦π＝ｆ
となるｇ：Ｘ／～ → Ｙが存在するなら、
　ｘ～ｘ’　⇒　π(ｘ)＝π(ｘ’)
　　　　　⇒　ｆ(ｘ)＝ｇ◦π(ｘ)＝ｇ◦π(ｘ’)＝ｆ(ｘ’)
よってｆは同値関係～と両立する。■

３．例

日本人すべてから成る集合をＸとし、Ｘの上に次のような同値関係を考える：
　ｘ～ｙ　⇔　ｘさんとｙさんは同じ都道府県の出身である
なお、～が同値関係であることは明らかだろう。

そして、各日本人ｘに対して、ｘの出身地方を対応させる写像ｆを考える。このことは、集合Ｙを
　Ｙ＝｛九州，中国，四国，近畿，中部，関東，東北，北海道｝
とおいて、写像
　ｆ：Ｘ→Ｙ
　ｆ(ｘ)＝（ｘの出身地方）
とおける。

このとき、ｆは同値関係～と両立する。

実際、
　ｘ～ｘ’　⇒　ｘさんとｘ’さんは同じ都道府県の出身である
　　　　　⇒　ｘさんとｘ’さんは同じ地方の出身である
　　　　　⇒　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ’)
　（ｘ，ｘ’∈Ｘ）
となる。

従って、上の命題によって写像ｇで
　ｇ：Ｘ／～ → Ｙ，ｇ◦π＝ｆ
となるものが一意的に存在する。

このｇは
　ｇ(｛北海道出身の人｝)＝（北海道地方）
　ｇ(｛岩手県出身の人｝)＝（東北地方）
　ｇ(｛東京都出身の人｝)＝（関東地方）
　ｇ(｛千葉県出身の人｝)＝（関東地方）
　ｇ(｛愛知県出身の人｝)＝（中部地方）
　ｇ(｛兵庫県出身の人｝)＝（近畿地方）
　ｇ(｛香川県出身の人｝)＝（四国地方）
　ｇ(｛広島県出身の人｝)＝（中国地方）
　ｇ(｛福岡県出身の人｝)＝（九州地方）
　ｇ(｛沖縄県出身の人｝)＝（九州地方）
などすべて書かないが４７都道府県分の対応リストとなる。

４．解釈

ｆは同値関係～と両立するとは、同値関係～が引き起こすＸの分割（都道府県での分割）は細かくて、ｆによる像の各元での逆像によるＸの分割（地方での分割）はそれ以上に粗いときにいう、と考えてもよい。