同値関係と両立する写像（６）

一般にいくつかの演算が付随したある集合（代数系）の上の同値関係が、これらの付随するすべての演算と両立するとき、その同値関係を合同関係という。

例えば群では乗法と呼ばれる２項演算が定義されていて、乗法についての公理：
　　結合法則、単位元の存在、逆元の存在
を満たす。単位元の存在と逆元の存在はそれぞれ０項演算、１項演算と考えることができる。従って群においてその付随するすべての演算とは、この２つの演算と乗法という２項演算を合わせたものとなる。

今回は、群を例に合同関係を調べよう。まず群の合同関係は、乗法についてのみ両立するような同値関係を仮定すれば従うことをみよう。そして合同関係が正規部分群を引き起こし、逆に正規部分群が合同関係を引き起こし、両者が１：１対応していることをみよう。

１．記号の定義

ここではＧを群、その単位元を１、群Ｇの元ｘに対してｘの逆元をｘ’と書く。群Gにおける２項演算を
　Ｇ×Ｇ→Ｇ，(ｇ，ｈ)↦ｇｈ
で表す。

また、Ｇの元ｘとＧの部分集合Ｈに対して、
　Ｈｘ＝｛ｈｘ∈Ｇ｜ｈ∈Ｈ｝
として集合を定める。ｘＨやｘＨｙも同様に
　ｘＨ＝｛ｘｈ∈Ｇ｜ｈ∈Ｈ｝
　ｘＨｙ＝｛ｘｈｙ∈Ｇ｜ｈ∈Ｈ｝
（ｘ，ｙ∈Ｇ，Ｈ⊂Ｇ）
と定める。Ｇの２つの部分集合Ｈ，Ｋについても
　ＨＫ＝｛ｈｋ∈Ｇ｜ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ｝
と定める。３つ以上も同様である。群Ｇは結合法則を満たすので括弧を省く。ただし群Ｇは一般には乗法の可換性を仮定しないため、
　ｘＨ＝Ｈｘ，ＨＫ＝ＫＨ
等は必ずしも成り立たないことに注意する。

Ｇの上の同値関係～に対して、Ｇの元ｘの同値関係～による同値類を
　[ｘ]＝｛ｇ∈Ｇ｜ｘ～ｇ｝
と書くことにする。

２．群の合同関係

群Ｇに同値関係～が与えられていて乗法と両立するとする：
　ａ～ｂ，ｃ～ｄ　⇒　ａｃ～ｂｄ
　（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｇ）

このとき、Ｇにおける逆元を取るという１項演算：
　ｘ↦ｘ’　（ｘ∈Ｇ）
も同値関係～と両立する。

実際、
　ｘ～ｙ　⇒　ｘ’ｘｙ’～ｘ’ｙｙ’　（ｘ’を左からｙ’を右から両辺に乗じる）
　　　　　⇒　ｙ’～ｘ’
　　　　　⇒　ｘ’～ｙ’　　　　　　（～の対称律）
となる。

Ｇ単位元１を指定する０項演算：
　｛＊｝→Ｇ，＊↦１
については同値関係～とは無関係なので常に両立するものと考えよう。

従って、同値関係～がＧの乗法と両立するという仮定は、群Ｇの持つすべての演算と両立する、という仮定と同値である。

このように、集合に付随するすべての演算と両立する同値関係を特に合同関係（congruence）と呼ぶ。

この用語を使えば、
　　　群Ｇの同値関係～は乗法と両立する
　⇔　群Ｇの同値関係～は合同関係である
となる。

３．合同関係から正規部分群

さて、Ｈを単位元１の同値関係～による同値類とする：
　Ｈ＝[１]
　　＝｛ｘ∈Ｇ｜ｘ～１｝

まず、１～１より
　１∈Ｈ
である。

ｘ，ｙ∈Ｈのとき、
　ｘ～１，ｙ～１
で、乗法と両立することから、
　ｘｙ～１・１＝１
よって、ｘｙ∈Ｈとなる。

ｘ∈Ｈのとき、
　ｘ’＝１ｘ’～ｘｘ’＝１
より、ｘ’∈Ｈ

従って、ＨはＧの部分群となる。　･･･（１）

さらに、ｇ∈Ｇ，ｘ∈Ｈのとき、
　ｇｘｇ’～ｇ１ｇ’＝１
よって、ｇｘｇ’∈Ｈ

つまり、
　ｇＨｇ’⊂Ｈ　（ｇ∈Ｇ）　　　　･･･（２）
が従う。

そしてこのとき、
　ｘ～ｙ　⇔　Ｈｘ＝Ｈｙ　　　　･･･（３）
となる。

実際、
　ｘ～ｙ　⇒　ｘｙ’～１
　　　　　⇒　ｘｙ’∈Ｈ
　　　　　⇒　ｘ∈Ｈｙ
　　　　　⇒　Ｈｘ⊂Ｈｙ
同様に逆向きの包含関係
　ｘ～ｙ　⇒　Ｈｙ⊂Ｈｘ
も示されるから合わせて、
　ｘ～ｙ　⇒　Ｈｘ＝Ｈｙ
を得る。逆向き（⇐）は、
　Ｈｘ＝Ｈｙ　⇒　ｘ＝１ｘ∈Ｈｙ
　　　　　　　⇒　ｘｙ’∈Ｈ
　　　　　　　⇒　ｘｙ’～１
　　　　　　　⇒　ｘ～ｙ
となる。

上の（１），（２）を満たすＧの部分集合ＨをＧの正規部分群という。

なお、条件（２）を満たせば
　　ｇＨｇ’⊂Ｈ，ｇ’Ｈｇ⊂Ｈ
⇔　ｇＨ⊂Ｈｇ，Hｇ⊂Hｇ
⇔　ｇＨ＝Ｈｇ
⇔　ｇＨｇ’＝Ｈ
であるから、
　ｇＨｇ’＝Ｈ　（ｇ∈Ｇ）　　　･･･（２’）
という（一見強く見える）条件と同値である。

４．正規部分群から同値関係

逆にＨをＧの正規部分群とする。

Ｇに次の２項関係を定めよう：
　ｘ～ｙ　⇔　Ｈｘ＝Ｈｙ

これはＧの上の同値関係である：
・反射律：
　Ｈｘ＝Ｈｘより。
・対称律：
　Ｈｘ＝Ｈｙ⇒Ｈｙ＝Ｈｘより。
・推移律：
　Ｈｘ＝Ｈｙ，Ｈｙ＝Ｈｚ⇒Ｈｘ＝Ｈｚより。

また、乗法と両立する：
　　ａ～ｂ，ｃ～ｄ　
　⇒　Ｈａ＝Ｈｂ，Ｈｃ＝Ｈｄ　（∵～の定義）
　⇒　ＨａＨｃ＝ＨｂＨｄ　　　（∵辺々の積）
　⇒　ａＨＨｃ＝ｂＨＨｄ　　　（∵（２’）よりＨａ＝ａＨ等）
　⇒　ａＨｃ＝ｂＨｄ　　　　　（∵Ｈが群よりＨＨ＝Ｈ）
　⇒　Ｈａｃ＝Ｈｂｄ　　　　　（∵（２’）よりＨａ＝ａＨ等）
　⇒　ａｃ～ｂｄ　　　　　　　（∵～の定義）

従って、同値関係～はＧの乗法と（従ってＧのすべての演算と）両立する。

そしてこのとき、
　　　ｘ∈Ｈ
　⇔　Ｈｘ＝Ｈ
　⇔　ｘ～１
　⇔　ｘ∈｛ｘ∈Ｇ｜ｘ～１｝＝[１]
より、
　Ｈ＝[１]　　　　　　･･･（４）
とわかる。

５．１：１対応

こうして、群における乗法と両立する同値関係（つまり合同関係）から正規部分群が引き起こされ同値関係は（３）を満たした。逆に正規部分群から（３）を満たす同値関係は群の合同関係となった。この対応の様子は、以下のように行って帰ると元に戻ることを意味する：
　｛群Ｇの合同関係｝→｛群Ｇの正規部分群｝
　｛群Ｇの合同関係｝←｛群Ｇの正規部分群｝
　　　　　　　　　　　　　　　　
そして、正規部分群から乗法と両立する同値関係（つまり合同関係）が定義され、その正規部分群は（４）を満たした。逆に乗法と両立する同値関係から（４）を満たす部分集合は正規部分群となった。この対応の様子は、以下のように行って帰ると元に戻ることを意味する：
　｛群Ｇの正規部分群｝→｛群Ｇの合同関係｝
　｛群Ｇの正規部分群｝←｛群Ｇの合同関係｝

ゆえに、両者をまとめて１：１の対応関係がつくことがわかる：
　｛群Ｇの合同関係｝　↔　｛群Ｇの正規部分群｝
　　　　　～　　　　　↔　　　　　Ｈ

６．まとめ

今回は群を例に合同関係について調べた。群における乗法と両立する同値関係は群における合同関係であった。そして合同関係は自然に正規部分群を引き起こし、任意の正規部分群と１：１対応することをみた。