同値関係と両立する写像（１１）

前回の第１同型定理に引き続き、今回は第２同型定理と、群、環、Ｒ加群の場合にこれを翻訳しよう。

第２同型定理では代数系を１つ固定し、その代数系における２つの包含関係のある合同関係に関する同型定理となる。代数系Ａの小さい合同関係θによる分割Ａ／θに対して、θよりも大きい合同関係ψが引き起こすＡ／θの合同関係ψ／θ（※注意１）による分割（Ａ／θ）／（ψ／θ）は、もとのＡの上で大きい合同関係ψによる分割Ａ／ψと同型である。

※注意１：
包含関係の大きい方ψが小さい方のθよりも粗い分割を引き起こすため、θで分割した商集合上に合同関係ψ／θが、ψによって自然に生じる。

感覚的にいうと、初めに見積もって（θ）、その見積もりからさらに見積もる（ψ’）なら、最初からもっと大まかベースで見積っても（ψ）同じ（≅）、ということである。

１．第２同型定理

ここではどの合同関係での同値類かを明らかにしつつ議論するため、合同関係に対応した同値類の記号を用意する。一般に集合Ａ上の同値関係θによる同値類のことを
　ａ／θ＝｛ｘ∈Ａ｜ｘθａ｝
と書くことにする。
（以前、ａ∈Ａの同値類を[ａ]と表記していたものである。）

さて、Ａを代数系とし、Ａ上の合同関係θ，ψで
　θ⊂ψ
となるように取ってくる。

ＡからＡ／ψへの全射準同型を
　ｆ：Ａ→Ａ／ψ
とし、ＡからＡ／θへの全射準同型を
　π：Ａ→Ａ／θ
とする。

今、θ⊂ψであるから
　ｘθｙ　⇒　ｘψｙ
　　　　　⇔　ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)
　（ｘ，ｙ∈Ａ）
つまり、ｆはθと両立する。

よって、全射準同型ｆに対する命題Ａ１より全射準同型
　ｇ：Ａ／θ→Ａ／ψ　，ｆ＝ｇ◦π
が引き起こされる。

そこで、全射準同型ｋに対する準同型定理より同型写像
　　ｈ：(Ａ／θ)／(ψ／θ) → Ａ／ψ
を得る。ただしψ／θはｇが引き起こすＡ／θ上の合同関係である：
　　　ａ／θ（ψ／θ）ｂ／θ
　⇔　ｇ(ａ／θ)＝ｇ(ｂ／θ)　　　　　　（∵ψ／θの定義）
　⇔　ｆ(ａ)＝ｆ(ｂ)　　　　　　　　　（∵ｇの定義）
　⇔　ａ／ψ＝ｂ／ψ　　　　　　　　　（∵ｆの定義）
　⇔　ａψｂ　　　　　　　　　　　　　（∵同値類の定義）
∴　ψ／θ＝｛(ａ／θ，ｂ／θ）∈Ａ／θ×Ａ／θ｜ａψｂ｝

こうして以下の第２同型定理が得られた。

【第２同型定理】
Ａを代数系とする。θ⊂ψとなる任意のＡ上の合同関係θ，ψに対して、
　(Ａ／θ)／(ψ／θ) ≅ Ａ／ψ
となる。
ただしψ／θは(Ａ／θ)上の以下で定義される合同関係である：
　ａ／θ（ψ／θ）ｂ／θ　⇔　ａψｂ　（ａ，ｂ∈Ａ）

２．群の場合

群Ｇにおける合同関係～には群Ｇのある正規部分群Ｈが一意に対応していて
　Ｇ／～＝Ｇ／Ｈ
となった。そして２つの合同関係θ⊂ψについては、その対応する正規部分群をＫ，Ｈとすると
　θ⊂ψ　⇔　”ａθｂ　⇒　ａψｂ（ａ，ｂ∈Ｇ）”
　　　　⇔　”ａｂ’∈Ｋ　⇒　ａｂ’∈Ｈ（ａ，ｂ∈Ｇ）”
　　　　⇔　”ａ∈Ｋ　⇒　ａ∈Ｈ（ａ∈Ｇ）”
　　　　⇔　Ｋ⊂Ｈ
となる。（ここでもｂ∈Ｇの逆元をｂ’とした。）従って、上の同型定理は正規部分群で述べれば次のようになる。

【群の第２同型定理】
Ｇを群する。このときＫ⊂ＨとなるＧの正規部分群Ｋ，Ｈに対して、
　(Ｇ／Ｋ)／(Ｈ／Ｋ) ≅ Ｇ／Ｈ
となる。

３．環の場合

環Ｒにおける合同関係～には環ＲのあるイデアルＡが一意に対応していて
　Ｒ／～＝Ｒ／Ｉ
となった。そして２つの合同関係θ⊂ψについては、その対応するイデアルをＡ，ＢとするとＲを加法群としてみれば上記の群の場合の考察から
　θ⊂ψ　⇔　Ａ⊂Ｂ
となる。従って、上の同型定理はイデアルで述べれば次のようになる。

【環の第２同型定理】
Ｒを環する。このときＡ⊂ＢとなるＲのイデアルＡ，Ｂに対して、
　(Ｒ／Ａ)／(Ｂ／Ａ) ≅ Ｒ／Ｂ
となる。

４．Ｒ加群の場合

Ｒを単位的半群とする。Ｒ加群Ｍにおける合同関係～にはＭのある部分加群Ｎが一意に対応していて
　Ｍ／～＝Ｍ／Ｎ
となった。そして２つの合同関係θ⊂ψについては、その対応する部分加群をＡ，ＢとするとＭを加法群としてみれば上記の群の場合の考察から
　θ⊂ψ　⇔　Ａ⊂Ｂ
となる。従って、上の同型定理は部分加群で述べれば次のようになる。

【Ｒ加群の第２同型定理】
Ｒを単位的半群、ＭをＲ加群する。このときＡ⊂ＢとなるＭの部分加群Ａ，Ｂに対して、
　(Ｍ／Ａ)／(Ｂ／Ａ) ≅ Ｍ／Ｂ
となる。

５．まとめ

今回は第２同型定理を導き、これを群、環、Ｒ加群の場合にそれぞれ翻訳した。