【対称的な数】レイランド数とは？

以前、もしもの時の便利な番号について書きました。

その中で「177」という番号を紹介。天気予報を教えてくれるというものでした。

この177は「レイランド数」と呼ばれています。少しだけ書きましたね。今回は改めて、レイランド数がどういう数なのかを説明いたします。

レイランド数とは、以下のような形で表せる数のことです。

x^y + y^x

(「^y」はy乗を意味します)

ただし、xとyはどちらも2以上の整数です。

具体例を上げると、

2^3+3^2=8+9=17

2^5+5^2=32+25=57

3^5+5^3=243+125=368

などなど。x, yには色々の数が入るので、レイランド数は無限に存在します。



一方、レイランド素数というものもあります。名前の通り、

レイランド数でかつ素数である数のこと。

です。

17 =2^3+3^2
593 =2^9+9^2
32993 =2^15+15^2
2097593 =2^21+21^2

などがありますが、どんどん数は大きくなっていきます。興味のある方は、もっと大きい数についても調べてみてください。

ちなみに、17はフェルマー素数でもありますね。

尚、Wikipediaによると、「第2種レイランド数」というものもあるようです。

先程のレイランド数は

x^y + y^x

でしたが、第2種レイランド数は

x^y − y^x

と+から−に変わっています。

こちらも同様に「第2種レイランド素数」があり、最初の方の数字を挙げると以下の通りです。

7 = 2^5 − 5^2
17 = 3^4 − 4^3
79 = 2^7 − 7^2
431 = 2^9 − 9^2

なんと、17は「レイランド素数」かつ「第2種レイランド素数」なんですね…！どっちにも存在ふることを知って、思わず興奮してしまいました…笑。

さてさて、レイランド数といえば次のような入試問題を僕は思い出しますね。2016年の京大の問題です。

素数p, qを用いて

p^q + q^p

と表される素数をすべて求めよ。

実はこの答えは、先程登場した17しかありません。どうしてなのか気になる方は証明してみてくださいね笑。

今回はレイランド数について紹介してきました。

計算練習にもなるので、色々な数を代入して具体例を求めてみてください。面白い数があるといいですね。

ポール・レイランドさんに感謝です。

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。