【対称的な数】レイランド数とは?
以前、もしもの時の便利な番号について書きました。
その中で「177」という番号を紹介。天気予報を教えてくれるというものでした。
この177は「レイランド数」と呼ばれています。少しだけ書きましたね。今回は改めて、レイランド数がどういう数なのかを説明いたします。
レイランド数とは、以下のような形で表せる数のことです。
x^y + y^x
(「^y」はy乗を意味します)
ただし、xとyはどちらも2以上の整数です。
具体例を上げると、
2^3+3^2=8+9=17
2^5+5^2=32+25=57
3^5+5^3=243+125=368
などなど。x, yには色々の数が入るので、レイランド数は無限に存在します。
一方、レイランド素数というものもあります。名前の通り、
レイランド数でかつ素数である数のこと。
です。
17 =2^3+3^2
593 =2^9+9^2
32993 =2^15+15^2
2097593 =2^21+21^2
などがありますが、どんどん数は大きくなっていきます。興味のある方は、もっと大きい数についても調べてみてください。
ちなみに、17はフェルマー素数でもありますね。
尚、Wikipediaによると、「第2種レイランド数」というものもあるようです。
先程のレイランド数は
x^y + y^x
でしたが、第2種レイランド数は
x^y − y^x
と+から−に変わっています。
こちらも同様に「第2種レイランド素数」があり、最初の方の数字を挙げると以下の通りです。
7 = 2^5 − 5^2
17 = 3^4 − 4^3
79 = 2^7 − 7^2
431 = 2^9 − 9^2
なんと、17は「レイランド素数」かつ「第2種レイランド素数」なんですね…!どっちにも存在ふることを知って、思わず興奮してしまいました…笑。
さてさて、レイランド数といえば次のような入試問題を僕は思い出しますね。2016年の京大の問題です。
素数p, qを用いて
p^q + q^p
と表される素数をすべて求めよ。
実はこの答えは、先程登場した17しかありません。どうしてなのか気になる方は証明してみてくださいね笑。
今回はレイランド数について紹介してきました。
計算練習にもなるので、色々な数を代入して具体例を求めてみてください。面白い数があるといいですね。
ポール・レイランドさんに感謝です。
素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
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