SOSU INFINITY & SOSU BUS STOP

今回は、

「素数が無限に存在すること」の証明を紹介します。

なるべく易しく書いたので、数学が苦手な方にも読んでもらいたいです。

(わかりやすくするために、ざっくりと書きました)

証明には「背理法」を使います。

背理法とは、

Aという事実を証明するために、

まずはAでないと仮定して議論していき、

最終的に矛盾が生じることを示すことで、本来のAが成り立つ

という感じで証明する方法です。

今回だと、

「素数が無限に存在する」を証明するために、

その否定である

「素数は有限にしか存在しない」が成り立つと仮定するのです。

ここでは簡単に、素数がp, q, rの3つしかないと仮定しましょう。

(p, q, rは2以上です)

このとき、すべての数の素因数分解はp, q, rのかけ算で表すことができます。

つまり言い換えると

すべての数はp, q, rのどれかで割れることになります。

(p, q, rのかけ算で表されるから)

しかし、p, q, rのどれでも割れない数を作ることができます。

それが、

p×q×r + 1

p, q, rのどれで割っても、余りが1になってしまいます。

(p, q, rは2以上でしたね)

つまり、どれで割っても割れないのです。

よって、これは矛盾です。

先程、

すべての数はp, q, rのどれかで割れることになります。

と言ったはずなのに、成り立っていませんよね。

よって、最初に仮定した、

素数は有限にしか存在しない

は間違っていることになるので、

素数は無限に存在する

と証明できるのです。



いかがでしたか？

数学が苦手な方でも、何となくはわかっていただけたでしょうか？

証明のことは最悪忘れてしまってもいいので、

素数は無限に存在する

ということを最低限覚えておいてほしいです！

さて、

なぜタイトル画像がバス停なのかというと、

先程の証明と重なる部分があるからです。

バス停には、

02系統
03系統
05系統
31系統

が載っていますね。

背理法で、

p, q, rしか素数がないと仮定して、

p×q×r + 1

という式を考えました。

p=2, q=3, r=5とすると、

p×q×r + 1

= 2×3×5 + 1

= 31

となるので、4つの系統の数字がすべて登場するのです…！

という、日常に役に立たないであろう発見を結構します…笑。

ただ、言えることとしては、

素数が無限に存在するように、

数字の面白さも無限に存在します。

このnoteがそんな発信源になれるよう、継続して発信していこうと思います。

素数はいつも、あなたのそばに。

Let's enjoy SOSU!

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。