論理を学ぶ（２）：論理式に書き換える。

論理を学ぶシリーズ、２回目の今回は論理式への書き換えです。

一般に「PなのでQ」という表現は書き換えることができます。

というより、論理は、「ならば⇒」「かつ∧」「または∨」「否定￢」の４つで表現できるとされています。

このあたりは、学校で、というより数学で教わりませんよね。個人的には問題かなと感じなくもありません。

それはさておき、この４つの表現で表すように考えます。今回はこれがテーマです。

では、今回の問題はこちら。

上記の考えを適応すれば、まずは論理式に整えないといけません。
論理式とは、論理の記号（今回は記号はつかいませんが・・・）で表現される、「ならば（⇒）」、「かつ（∧）」、「または（∨）」、「否定・～でない（￢）」を用いた形にすることです。

（１）については、
任意のｘが正ならば、a＋ｘ≧０である。

となります。さらに、任意＝「すべて」なので、
すべてのｘが正ならばとなり、ｘ＞０と表現できるので、

ｘ＞０ならば、ｘ＋a≧０である

と書き換えることができます。

すると、ｘとaの和が０以上なので、この不等式、つまり条件が必ずなりたつ（＝真である）のは、
aが、正または０であるので、a≧０と言えます。

（２）については、
「ある」＝「任意」の否定＝「すべて」の否定と考えることができます。

「ある」は考えにくいとすると、この否定の考えを使って書き換えます。
まず元の条件を「ならば」をつかって論理式に書き換えます。

ある数ｘが正ならば、a－ｘ＞０である。

この条件の否定は、
すべてのｘが正ならば、a－ｘ≦０となり

ｘ＞０ならば、a－ｘ≦０であるとなります。

この条件の否定が真であるのは、aから正の数を引いて必ず０以下となるわけですから、aは負または０となります。よってa≦０となり、

これの否定が（２）の答えなので、a＞０となります。

一般に「ある」は考えにくいですよね。その場合は、「ある」の否定の「すべて」で考えるといいのではと思います。

前回のように、「または」より「かつ」が考えやすいのと同じかもしれませんね。

不思議なもので、論理式に書き換えると思考が上がってくることが結構多いですね。