ゲーデルの不完全性定理の別証明？

以下の記事での問題と証明は、次の書籍の記述に基づいています。
小野田博一『論理パズル100　世界の名作から現代の良問まで』（講談社ブルーバックス）の７５ページから７８ページまで

問題１：　矛盾からはあらゆる結論が引き出せる。
証明１：（省略します）。

問題２：　数学の体系が無矛盾であることは、数学の体系内では証明できない。
証明２：
＜仮定１：数学が、その体系内に矛盾を抱えている場合＞
問題１の結論から、矛盾からは、あらゆる結論が引き出せる。つまり、「数学は、その体系内に矛盾がない」という結論も引き出せる。

＜仮定２：数学が、その体系内に矛盾を抱えていない場合＞
この場合は、仮定２に基づき、「数学が、その体系内に矛盾がない」という結論が導き出せる。（具体的な手法については、分からないが）。

以上から、＜仮定１＞、＜仮定２＞のいずれにおいても、「数学が、その体系内に矛盾がない」という結論を導くことができる。このため、「数学が、その体系内に矛盾がない」という結論が適切な演繹により証明として導かれたとしても、いったい＜仮定１＞、＜仮定２＞のどちらが前提であったのかは、判別できないことになる。

このため、「数学がその体系内に矛盾を抱えていない」ことは、数学の体系内では証明できないことになる。（証明２おわり）

ここで、証明２では、ゲーデル数も対角線論法も使っていない。1931年の（ゲーデルの）オリジナルの証明とは異なるものである。さて、これは、ゲーデルの不完全性定理の別証明になっているのだろうか？


追記：
「数学の体系が無矛盾である」ことが真である場合、「数学の体系に矛盾がない」ことは偽となる。

２つ目の命題を言い換えると「数学の体系に矛盾がある」ことが真となる。

この２つの互いに背反する真のどちらが、実際に成立しているかについて、
「数学の体系が無矛盾である」ことが証明できた場合でも、どちらの真が成立しているかは判定できない。

つまり、２つの真のうち、いずれかは成立しているはずであるが（＝何らかの真が少なくとも一つは存在しているはずであるが）、その真は数学の体系内では証明できない。

さて、この場合の、真とは、何に依拠しているのだろうか。仮に数学の体系に依拠しているとしても、その体系内では証明できないのである。

それでは、この真は、数学の体系の外に存在しているのだろうか。

この真は、何に依拠していて、どこに存在するのだろうか。それが真である（２つ命題のうちのいずれかが）ことは、確実である。でも、それがどこにあるのかが分からない。