重要な性質を満たす定義を作るくらいならば，その性質を定義としてしまうという試み \\ #掛け算の数学的定義を求めて

前回↓（※全文無料公開にしました

前回記事を読んでいただければ分かるが，今回は順序対の仮の定義が，ちゃんと順序対として成立するのか（性質を満たしているのか）を調べるつもりだった．

だが，考えてみれば，その必要はないのでは？ということを思った．

確証は無い．
だが，もしかしたらイケるかも，とは思う．

何より，イケれば面白い．

内容と方針の整理

前回の内容をかいつまんで振り返りながら，もう少し詳しく説明する．

掛け算の数学的定義を考える上で，集合の直積集合を参考にする．
集合の直積集合とは，以下のことだ．

$$
X \times Y=\{(x, y)|x \in X, y \in Y\}
$$

この$${(x,y)}$$が，順序対というもの．

順序対の重要な性質は

$$
(x,y)=(x’,y’)\to x=x’\wedge y=y’
$$

で，これは「$${(x,y)=(x’,y’)}$$ならば$${x=x’}$$かつ $${y=y’}$$」という意味．

本当は，ある順序対の定義があり，その定義に従って上記の性質がある．

ここまでを要約すると，「数の積の定義のために，集合の直積集合を利用することを考える．直積集合とは，順序対の集合なので，まずは順序対について考える」という感じ．
で，上記の性質を満たすように順序対の定義を作ることを目指す，というのが前回記事の内容．

しかし，順序対の具体的定義など実は不要なのでは無いか，というのが今回の試みである．
厳密に言うと，上記の性質を満たす定義を作るくらいならば，上記の性質を定義としてしまうという試み．

すなわち，「$${(x,y)=(x’,y’)\to x=x’\wedge y=y’}$$を満たす$${(x,y)}$$を順序対という」だ．

2×3=6を定義する

自然数を集合で定義すると

$$
\begin{align*}
2&=\{0,1\} \\
3&=\{0,1,2\} \\
6&=\{0,1,2,3,4,5\}
\end{align*}
$$

なので，

$$
\begin{align*}
2\times3&=\{(x, y)|x \in 2, y \in 3\} \\
&=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)\}
\end{align*}
$$

である．

$${2\times3=6}$$という結果が欲しいので，

$$
\begin{align*}
&\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)\} \\
=&\{0,1,2,3,4,5\}
\end{align*}
$$

が導ければ良い．

自然数とは何だ