整数群の平面への作用〈龍孫江の群論道具箱〉

　群の作用を導入し，これから作用を通じて群を観察しようと試みていくわけですが，一般論を展開する前に，群の作用の実例を紹介しましょう．まずはよく知っている（と思われる）整数の全体が成す加法群$${\mathbb{Z}}$$の，実平面$${\mathbb{R}^2}$$への作用を紹介します．

https://youtu.be/vKXTHbqKU8Q

　以下，$${G := \mathbb{Z}}$$を整数全体がなす加法群，$${X = \mathbb{R}^2}$$を実平面とします．

例１（平行移動）

　各$${a \in \mathbb{Z}}$$に対し，$${X}$$の各点を$${x}$$軸方向に$${a}$$ずらす平行移動を

$${ s_a(p,q) = (p+a, q)}$$

と定めると，$${ a \mapsto \sigma_a}$$は$${G}$$の$${X}$$への作用を指定する．