可除律があれば…〈龍孫江の群論道具箱〉

前回は，群における基本的な性質として簡約律と可除律について紹介しました．今回は，引き続き可除律の重要な性質を紹介します．

命題（可除律による群の特徴づけ）

集合$${G \ne \varnothing}$$上の演算$${\cdot}$$が

• 結合則　任意の$${a, b, c \in G}$$に対し$${(ab)c = a(bc)}$$

• 可除律　任意の$${a, b \in G}$$に対し，$${ax = b}$$なる$${x}$$および$${ya = b}$$なる$${y}$$が$${G}$$内に存在する

をみたすとき，$${G}$$はこの演算により群となる．