可換環の確認〈龍孫江の環論道具箱〉

以前，可換環の源流となった数の体系と函数の体系の２種類から例を挙げました．今回は，もう少し複雑な集合にもう少し複雑な演算を導入して，可換環の例を与えてみます．

https://youtu.be/9XPf03v5scc

例１．集合$${A = \{ (a,x) \mid a \in \mathbb{Z}, x \in \mathbb{Q}\}}$$は，次の演算にとり可換環をなす：

• 加法　$${(a,x) + (b,y) := (a+b, x+y)}$$

• 乗法　$${(a,x) \cdot (b,y) := (ab, ay+bx)}$$

この等式$${(a,x) + (b,y) := (a+b, x+y)}$$や$${(a,x) \cdot (b,y) := (ab, ay+bx)}$$において，左辺と右辺の記号$${+}$$や$${\cdot}$$は意味が異なります．左辺におけるこれらの演算子記号は$${A}$$における演算結果を意味しています．一方，右辺の成分に現れる演算子はそれぞれ$${\mathbb{Z}}$$や$${\mathbb{Q}}$$の演算結果を表し，右辺の結果をもって左辺の和や積の値だと「定める」等式といえます．