例と揺らぎ〈龍孫江の環論道具箱〉

前回は，可換環の例として比較的馴染み深い例について紹介しました．慣れ親しんだ例とはよく出くわす例とも言えて，よく見て触れるからこそ馴染み深くなっていくわけですね．

しかし，そんな良い例ばかりでもありません．抽象化している以上は，奇妙な例も含まれてしまうわけです．今回はそんな微妙な例をいくつか紹介しましょう．

https://youtu.be/Zkof7wpyxf4

１．行列環

実数に成分をもつ$${n}$$次正方行列の全体$${M_n(\mathbb{R})}$$は，通常の行列の加法および乗法を演算として環をなす．ただし，$${n \ge 2}$$のとき$${M_n(\mathbb{R})}$$は可換環ではない．

前回「多項式環は可換環の典型的な例」と述べました．この言明に対応する意味で「行列環は非可換環の典型的な例」であるとぼくは思っています．