８角形の☆（２）

昨日からの続きです。
表にまとめて示した一覧をもとにして、法則性を考察＆一般ルール化すると以下の通りにまとめられると思います。

☆奇数について
５角形以上に大きな「正（２ｎ－１）角形（奇数角形）」では、必ず☆が描けます。

ただし、正９角形とか、正１５角形みたいに「約数を持つ奇数」（３とか５が約数に相当します）では「約数角形」において正六角形の時と同じことが起こります。

＊言葉だけでは説明しにくいです。表を参照ください。表において（９－３）や、あるいは（１５－３）、（１５－５）のところです。

＊今の説明と逆に、約数を１つも持たない奇数角形の場合は「２以上{（２ｎー１）÷２}未満」の間にある整数の個数ぶんだけ、いろいろな☆が描けます。たとえば正７角形や、正１１角形がそうです。

☆偶数について
６角形以上に大きな「正（２ｎ）角形（偶数角形）」では、「３以上ｎ未満」までの整数のなかに、２ｎを割り切れない整数がある場合は☆が作れます。

例えば正１０角形の場合なら、「10÷ｘ」（ただし２＜ｘ＜５）という計算式が割り切れない整数は「３，４」の２つがあるので、２種類の異なる☆が描けます。
正８角形ならば「10÷ｘ」（ただし２＜ｘ＜４）という計算式が割り切れない整数は「３」の１つしかないので、１種類だけ☆が描けます。
＊注意：ｘは、３～（ｎ－１）の範囲の整数

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さて、法則性の「一般化」までやってみました。
でもこの作業はホントに「だから何？」という内容ですね。
やり終えたからこそ言えることですが、ホントに無駄な作業を行ったものだと思います。

ということで、こんどは気持ちを切り替えまして、表をじっと見ていたら思いついたことを論じてみたいと思います。

まず正６角形をご覧ください。６角形といえばSIMですよね。
正６角形を使った著名（？）なゲームです。
このゲーム、日本ではあんまり有名ではないですが、英語圏では、ゲーム好きな人は皆知ってるっていう感じでポピュラーみたいです。

SIM 　　2 players
勝利条件：
自分の色の線３本で三角形を作ってしまったら負け。
用具：

図の通りの６つの点を紙に描く。
赤ペンと黒ペンなど、異なる色のペンを用意する。
遊び方：
交互に任意の点と点との間を、自分の色の線で結ぶ。自分の色の線３本による三角形が完成しないようにする。

次は正７角形です。

Orbit

厳密にはゲーム盤は星形ではないのですが、（７－２）型にとても近似してる図形ということで、Orbitのことを思い出してしまいました。
BGGに紹介されているルールをチラ見してみたのですが、ダイスを使っていて、Luck（運）に偏ってる印象だったことから、ルールを熟読しておりません。ちなみにこれ、あの有名人のAlex Randolphさんの作品です。

さらに正8角形にも既存のゲームがあります。
表の（８ー２）のカタチ、これは先日ご紹介した、HikuSpiele社のWanTuゲーム盤と相似図形です。こんな具合に、アブストラクトゲームにはさりげなく数学が関与しているのかな、と思う次第です。

WanTuゲーム盤と相似

このお話はまだ明日に続きます。