やさしい理系数学～７～

　このシリーズは、河合塾の「やさしい理系数学」の解答/解説に注釈をつけて、解りやすくしたものです。元の「やさしい理系数学（改訂版）」を見ながらでないと、このnoteだけでは何のことを書いてるか解らないです。
　なお、執筆時点の最新版である三訂版ではないので、注意してください。

例題１９

【解答１】（１）

• $${x}$$の次数が偶数なので、常に$${f(x)=f(-x)}$$である。

• $${f(x)=f(-x)}$$であるから、$${f(x)}$$は$${y}$$軸対象と言える。

【解答１】（２）

• 極小値を与える$${x}$$がy軸対象なので、極大値を与える$${x}$$は$${0}$$。

【解答２】（１）

• $${f'(x) }$$は、極値を与える$${x}$$で$${0}$$になるから、それらの値は$${f'(x)=0 }$$の解である。

• $${f'(x)=4ax^3+3bx^2+cx+b }$$。

• 極小値を与える$${x}$$が$${α}$$と$${-α}$$であり、極大値を与える$${x}$$を$${β}$$とすると、$${f'(x)=4ax^3+3bx^2+cx+b }$$は$${f'(x)=4a(x-α)(x+α)(x-β)}$$に因数分解して表せる。

• $${f'(x)=4a(x-α)(x+α)(x-β)=4a(x^2-α^2)(x-β)=4a(x^3-α^2x-βx^2+α^2β)}$$

• $${\displaystyle f(x)=\int f'(x)dx}$$だから、$${\displaystyle f(x)=\int 4a(x^3-βx^2-α^2x+α^2β) dx=4a\left(\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}βx^3-\frac{1}{2}αx^2+α^2βx \right)+C}$$。

• $${f(α)=f(-α)}$$となるためには、$$${x}$$の奇数次の項が$${0}$$になればよいから、$${β＝0}$$。

• $${x}$$が偶数次の項だけの$${x}$$の関数は偶関数。

【解答２】（２）

• $${f(x)}$$は$${x}$$の$${4}$$次関数であり、$${x=-1}$$と$${x=1}$$で$${f(x)=-1}$$となることが解っているから、$$${f(x)=a(x-1)^2(x+1)^2-1}$$と言える。

• $${f(x)}$$が偶関数であることが解っているので、極大値を与える$${x}$$は$${0}$$であると言える。

例題２０

（１）

• $${ \{x^2-(α+β)x+αβ \}(px+q)=px^3-(α+β)px^2+αβpx+qx^2-(α+β)qx+αβq=px^3+\{q-(α+β)p\}x^2+\{αβp-(α+β) \}x+αβq }$$。

• $${x}$$の奇数次の関数は奇関数であるから、積分範囲が$${x=0}$$を軸に対象であれば、その積分は$${0}$$になる。

• $${x}$$の偶数次の関数は偶関数であるから、積分範囲が$${x=0}$$を軸に対象であれば、範囲全体の積分は正または負の領域の積分の$${2}$$倍になる。

• $${\displaystyle 2 \left\{-\frac{1}{3}p(α+β)+q\left(αβ+\frac{1}{3} \right) \right\} }$$が$${p,q}$$に関わらず必ず$${0}$$になるためには、$${(α+β)}$$と$${\displaystyle \left(αβ+\frac{1}{3} \right)}$$が$${0}$$でなければならない。

（２）

• $${x}$$の次数が奇数である関数は、$${f(-x)=-f(x)}$$だから、$${\displaystyle f\left( \frac{1}{\sqrt3}\right)+f\left(- \frac{1}{\sqrt3}\right)}$$においては$${x^3}$$と$${x}$$の項は$${0}$$である。

例題２1

【解答１】（１）

• $${4}$$次曲線$${y=f(x)}$$と直線$${y=g(x)}$$が$${2}$$点で接するから$${f(x)=g(x)⇔f(x)-g(x)=0}$$は重解を$${2}$$つ持つので、この解を$${α、β}$$として、$${f(x)-g(x)=(x-α)^2(x-β)^2}$$と言える。

【解答１】（２）

• $${f(x)}$$と$${g(x)}$$の接点の$${x}$$座標の値は、$${f(x)-g(x)=0}$$の解であるから、$${α、β}$$なので$${-1,2}$$である。

•  $${\displaystyle S=\int_{-1}^2f(x)-g(x)dx=\int_{-1}^2(x-α)^2(x-β)^2dx=\int_{-1}^2(x+1)^2(x-2)^2dx}$$。

• $${x+1=t}$$だから$${\displaystyle \frac {d} {dx}(x+1)=\frac {dt}{dx}⇔dx=dt}$$、$${x=-1}$$のとき$${t=0}$$、$${x=2}$$のとき$${t=3}$$。

例題２２

【解答１】

• $${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(0,1,1)-(1,0,0)=(-1,1,1)}$$。

• $${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}＋\overrightarrow{\mathrm{AQ}}}$$で、$${\rm Q}$$は$${\rm AC}$$上の点なので、$${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$だから、$${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}＋\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,0,0)+t(-1,1,1)=(1-t,t,t)}$$となるから、$${\rm Q}$$の座標は$${(1-t,t,t)}$$。

• $${\displaystyle 0≦ z < \frac{1}{2}}$$では、$${\rm QR}$$は$${\rm AB}$$の半分より長いので回転軸から最も近い点は$${z}$$の値に限らず$${\rm AB}$$の中点上にあるから、回転軸からの距離は常に$${\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}}$$ なので、この範囲では、$${z}$$軸の周りを$${1}$$回転してできる図形は半径$${1}$$の円から、半径$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}}$$の円の面積を引いたもの。

• $${\displaystyle \frac{1}{2}≦ z ≦ 1}$$では、$${\rm QR}$$は$${\rm AB}$$の半分より長いので回転軸から最も近い点は$${\rm Q}$$で、$${z}$$の値によって異なり、その値は$${z}$$軸から$${\rm Q}$$までの距離だから、$${\displaystyle \sqrt{t^2+(1-t)^2}}$$となるから、この範囲では、$${z}$$軸の周りを$${1}$$回転してできる図形は半径$${1}$$の円から、半径$${\displaystyle \sqrt{t^2+(1-t)^2}}$$の円の面積を引いたもの。

【解答２】

• 外側の円の半径は、$${\sqrt{p^2+h^2}}$$

• $${z}$$軸にくっついた△$${\rm ABC}$$を$${z}$$軸まわりに回転してできる立体は、半径$${\displaystyle \frac{\sqrt2}{2} }$$の円を底面とする高さ$${1}$$の円柱から、半径$${\displaystyle \frac{\sqrt2}{2} }$$の円を底面とする高さ$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$の円錐を除いたもの。

例題２３

1⃣

• $${C}$$と$${l_A(x)}$$との交点の$${x}$$座標は、$${C=l_A(x)}$$となる$${x}$$だから、$${C=l_A(x)⇔C-l_A(x)=0⇔ax^2+bx+c-l_A(x)=0}$$の解であり、接点であるから重解となるので、この解を$${α}$$とすると、$${ax^2+bx+c-l_A(x)=a(x-α)^2}$$と表せる。

• $${-l_A(x)-(-l_B(x))=a(x-α)^2-a(x-β)^2⇔l_B(x)-l_A(x)=a(x^2-2αx+α^2-x^2+2βx-β^2)=a(2βx-2αx+α^2-β^2)=a\{2x(β-α)-(β^2-α^2)\}=a\{2x(β-α)-(β-α)(β+α)\}=a(β-α)\{2x-(β+α)\}=a(β-α)(2x-β-α)}$$。

• $${l_A(x)}$$と$${l_B(x)}$$の交点の$${x}$$座標は、$${l_A(x)=l_B(x)⇔0}$$の解だから、$${l_B(x)-l_A(x)=a(β-α)(2x-β-α)=0⇔2x=(α+β)⇔x=\frac{α+β}{2}}$$。

• $${S_1}$$は、$${α< x <γ}$$では$${C}$$と$${l_A(x)}$$の間の面積、$${γ< x <β}$$では$${C}$$と$${l_B(x)}$$の間の面積の和である。

• $${α< x <γ}$$における$${C}$$と$${l_A(x)}$$の間の面積は、$${\displaystyle \left|\int_{α}^γ C-l_A(x)dx\right|= \left|\int_{α}^γ a(x-α)^2dx\right|=|a|\left|\int_{α}^{\frac{α+β}{2}} (x-α)^2dx\right|=|a|\left[ \frac{x-α}{3}\right]_α^{\frac{α+β}{2}} }$$

• $${l_{AB}(x)}$$は$${C}$$と$${x=α,x=β}$$で交差するから、$${x=α,x=β}$$は、$${C=l_{AB}(x)⇔C-l_{AB}=0⇔ax^2+bx+c-l_{AB}(x)=0}$$の解であるから、$${C=l_{AB}(x)⇔ax^2+bx+c-l_{AB}(x)=a(x-α)(x-β)}$$と表せる。

3⃣

• $${l_A(x)}$$は点$${\rm A}$$において$${C}$$と接し、$${\rm B}$$において交差するから、$${C=l_A(x)⇔C-l_A(x)=0}$$は$${x=α}$$のときに重解で$${x=β}$$のときに重解でない解を持つ。

• $${l_A(x)、l_B(x)}$$は$${1}$$次関数だから、$${ax^3+bx^2+cx+d-l_A(x)}$$も$${ax^3+bx^2+cx+d-l_B(x)}$$も$${x^3}$$の係数は$${a}$$で$${x^2}$$の係数は$${b}$$と言える。

• $${S_1}$$は$${C}$$と$${l_A(x)}$$に挟まれた領域の面積だから$${S_1=\displaystyle \left|\int_α^β l_A(x)-Cdx\right|}$$。

• $${\displaystyle |a| \left|\int_α^β \{(x-α)^3-(β-α)(x-α)^2\}dx \right| = |a| \left\{ \left[\frac{(x-α)^4}{4} \right] _α^β -(β-α)\left[\frac{(x-α)^3}{3} \right] _α^β \right\}=|a| \left\{\frac{(β-α)^4}{4}-\frac{(β-α)^4}{3} \right\}=|a|\frac{(β-α)^4}{12}  }$$。

問４８

• 一般に$${\displaystyle \int_0^x f'(x) dx =f(x)}$$。

• $${\left[f(x)g(x)\right]'=3x^2}$$だから、両辺を積分して$${f(x)g(x)=x^3+C}$$

• $${f(0)+g(0)=0⇔f(0)=-g(0)}$$で$$${f(0)=1}$$だから、$$${g(0)=-1}$$

• $${f(x)=x-1,g(x)=x^2+x+1}$$に$${x=0}$$を代入すると、$${f(0)=-1}$$となるから、条件に反する。

問４９

（１）

• $${\displaystyle \int_0^1 xf(x) dx =\int_0^1 x^2f(x) dx⇔\int_0^1 xf(x) dx -\int_0^1 x^2f(x)dx=\int_0^1 x^2f(x) dx -\int_0^1 xf(x)dx=0}$$

• $${\displaystyle \int_0^1 xf(x) dx -\int_0^1 x^2f(x)dx= \int_0^1(x^2-x)(x^2+ax+b)dx=\int_0^1(x^4+ax^3+bx^2-x^3-ax^2-bx)dx=\int_0^1\{x^4+(a-1)x^3+(b-a)x^2-bx\}dx=\left[\frac{1}{5}x^5+\frac{a-1}{4}x^4+\frac{b-a}{3}x^3-\frac{b}{2}x^2 \right]_0^1  }$$。

• $${12+15(a-1)+20(b-a)-30b=12+15a-15+20b-20a-30b=-3-5a-10b=0⇔5a+10b=-3}$$。

• $${\displaystyle \int_0^1(x^2+ax+b)dx=\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{a}{2}x^2+bx \right]_0^1 }$$。

（２）

• $${\displaystyle \int_0^1 x^2f(x) dx -\int_0^1 xf(x)dx=\int_0^1x(x-1)f(x)dx }$$

• $${x^2+ax+b=0}$$が$${0< x <1}$$で実数解を持たないならば、この範囲で$${f(x)=x^2+ax+b}$$は$${0}$$にならないから、$${x}$$の値によって符号が変わることがない。

$${\displaystyle \int_0^1x(x-1)f(x)dx }$$は、$${0< x <1}$$の範囲すなわち積分範囲で$${f(x)}$$の符号が変わらなければ、$${x(x-1)}$$はこの範囲で常に負だから、$${x(x-1)f(x)}$$は積分範囲で常に負なので、$${\displaystyle \int_0^1x(x-1)f(x)dx }$$は$${0}$$にならない。

（２）の別解

• $${\displaystyle -3-5a-10b=0⇔-10b=3+5a⇔b=-\frac{3+5a}{10}}$$。

• $${\displaystyle f(x)=x^2+ax+b=x^2+ax-\frac{5a+3}{10}}$$となるから、$${x}$$の係数が$${a}$$で定数項に$${\displaystyle -\frac{5a}{10}=-\frac{1}{2}a}$$があることに着目すると、$${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$$のときに、$${a}$$を打ち消すことができるとわかる。

• $${\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2+a \left(\frac{1}{2}\right)-\frac{5a+3}{10}=\frac{1}{4}-\frac{3}{10}=-\frac{1}{20}}$$。

• $${\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)}$$が負だから$${f(0)>0}$$であれば、$${\displaystyle 0< x < \frac{1}{2} }$$の範囲で$${f(x)=0}$$になる$${x}$$が必ず存在する。

• $${f(0)≦0}$$ならば$${f(1)>0}$$となるので、$${\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)}$$が負だから、$${\displaystyle \frac{1}{2} < x < 1}$$の範囲で$${f(x)=0}$$になる$${x}$$が必ず存在する。

問５０

【解答１】

• $${2}$$次関数$${f(x)}$$が$${(p,1)}$$と$$${(q,1)}$$を通るから、$${x=p}$$のとき$${f(x)=1}$$かつ$${x=q}$$のとき$${f(x)=1}$$なので、$${f(x)=a(x-p)(x-q)+1}$$と表せる。

• $${\displaystyle \int_p^q \{a(x-p)(x-q)+1\}dx=a\int_p^q(x-p)(x-q)dx +\int_p^q 1 dx }$$。

• $${\displaystyle \int_p^q(x-p)(x-q)dx }$$は、いわゆる$${\displaystyle \frac{1}{6}}$$公式から$${\displaystyle -\frac{1}{6}(q-p)^2}$$。

• v$${\displaystyle \int_p^q 1 dx=[x]_p^q=(q-p) }$$。

• $${f(r)=a(r-p)(r-q)+1}$$だから$${\displaystyle -\frac{a(q-p)^2}{6}+1=a(r-p)(r-q)+1 ⇔-\frac{(q-p)^2}{6}=(r-p)(r-q)⇔r^2-(p+q)x+pq+\frac{1}{6}(q-p)^2=0 }$$となるから、$${r}$$は解の公式で求めることができる。

• $${\displaystyle (p+q)^2-4pq-\frac{2}{3}(q-p)^2=p^2+2pq+p^2-4pq-\frac{2}{3}q^2+\frac{4}{3}pq-\frac{2}{3}p^2=\frac{1}{3}(p^2+q^2-2pq)=\frac{1}{3}(p-q)^2 }$$。

【解答２】

• $${2}$$次関数$${f(x)}$$が$${(p,1)}$$と$$${(q,1)}$$を通るから、軸が$${\displaystyle x=\frac{p+q}{2}}$$と言える。

• 軸を$${\displaystyle x=\frac{p+q}{2}}$$から$${x=0}$$に平行移動するから、$${r}$$は$${\displaystyle r-\frac{p+q}{2}}$$に移動し、$${q}$$は$${\displaystyle \frac{q-p}{2}}$$に、$${p}$$は$${\displaystyle -\frac{q-p}{2}}$$に移動する。

• $${f=ax^2}$$は偶関数であるから、$${\displaystyle \int_{-\frac{q-p}{2}}^{\frac{q-p}{2}}ax^2 dx=2\int_{0}^{\frac{q-p}{2}}ax^2 dx }$$。

• $${\displaystyle 2\int_{0}^{\frac{q-p}{2}}ax^2 dx=(q-p)a\left(r-\frac{p+q}{2} \right)^2 ⇔\int_{0}^{\frac{q-p}{2}}ax^2 dx=\frac{q-p}{2}a\left(r-\frac{p+q}{2} \right)^2}$$。

• $${\displaystyle \frac{a}{3}\left(\frac{q-p}{2} \right)^3=\frac{q-p}{2}a\left(r-\frac{p+q}{2} \right)^2⇔\frac{1}{3}\left(\frac{q-p}{2} \right)^2=\left(r-\frac{p+q}{2} \right)^2⇔±\frac{1}{\sqrt3}\left(\frac{q-p}{2} \right)=r-\frac{p+q}{2}⇔\frac{p+q}{2}±\frac{1}{\sqrt3}\left(\frac{q-p}{2} \right)=r}$$。

問５１

【解答１】

• $${f(x)}$$と$${l(x)}$$の接点の$${x}$$座標の値を$${p}$$とすると、$${l(x)}$$の傾きは$${f'(x)=2x+6}$$なので、$${f(x)}$$と$${l(x)}$$の接点における$${l(x)}$$の傾きは$${2p+6}$$となり、$${l(x)}$$が$${(p,f(p))}$$を通るから、$${l(x)=(2p+6)(x-p)+p^2+6p+12a}$$と表せる。

• $${g(x)}$$と$${l(x)}$$の交点の$${x}$$座標の値を$${q}$$として、同様に$${l(x)=(2q-6)(x-q)+q^2-6q+12a}$$と表せる。

• $${f(x)}$$と$${g(x)}$$の交点の$${x}$$座標の値を$${α}$$とすると、$${f(α)=g(α)$${f(x)=l(x)}$$α^2+6α+12a=α^2-6α+12b⇔12α=12b-12a⇔α=b-a}$$。

• ②より$${\displaystyle q^2-p^2=12(b-a)⇔b-a=\frac{q^2-p^2}{12}=\frac{(q-p)(q+p)}{12} }$$となるから、①より$${q-p=6}$$を代入して、$${\displaystyle α=\frac{6(q+p)}{12}=\frac{q+p}{2} }$$。

• $${f(x)}$$と$${g(x)}$$の交点の$${x}$$座標の値を$${α}$$としているから、求める面積は$${\displaystyle p ≦ x < α }$$の範囲で$${f(x)}$$と$${l(x)}$$に挟まれる面積と、$${\displaystyle α ≦ x ≦q }$$の範囲で$${g(x)}$$と$${l(x)}$$に挟まれる面積の和となる。

• $${f(x)}$$と$${l(x)}$$の接点の$${x}$$座標の値を$${p}$$とすると、$${f(x)=l(x)}$$は$${x=p}$$で重解を持つから、$${f(x)}$$で$${x^2}$$の係数が$${1}$$だから$${f(x)=l(x)⇔f(x)-l(x)=(x-p)^2}$$と表せる。

• $${\displaystyle α-p=\frac{q+p}{2}-p=\frac{q-p}{2}  }$$。

• $${\displaystyle α-q=\frac{q+p}{2}-q=-\frac{q-p}{2} }$$。

• $${\displaystyle \left(-\frac{q-p}{2} \right)^3=(-1)^3\left(\frac{q-p}{2} \right)^3=-\left(\frac{q-p}{2} \right)^3}$$

【解答２】

• $${y=l(x)}$$と$${y=x^2+6x+12a}$$の接点の$${x}$$座標を$${p}$$とすると、$${l(x)=x^2+6x+12a⇔x^2+6x+12a-l(x)=0}$$は$${x=p}$$で重解を持つから$${x^2+6x+12a-l(x)=(x-p)^2}$$と表せる。

• $${(x-p)^2-(x-q)^2=x^2-2px+p^2-x^2+2qx-q^2=2x(q-p)+p^2-q^2}$$。

• $${12=2(q-p)、12(a-b)=p^2-q^2=(p-q)(p+q)=-(p-q)(p+q)}$$。

• $${y=x^2+6x+12a}$$と$${y=x^2-6x+12b}$$の交点の$${x}$$座標は、$${x^2+6x+12a=x^2-6x+12b}$$の解だから、$${x^2+6x+12a-l(x)=x^2-6x+12b-l(x)⇔x^2+6x+12a-l(x)-\{x^2-6x+12b-l(x)\}=0}$$だから、⑤$${=0}$$になる$${x}$$の値であるから、これを$${α}$$とすると、$${\displaystyle (q-p)\{2α-(q+p)\}=0⇔2α-(p+q)=0⇔α=\frac{p+q}{2}}$$。

問５２

• $${0=a+b+c+d、2=-a+b-c+d}$$だから、この$${2}$$式を足すと$${2=2b+2d⇔b+d=1}$$となるから、これを$${0=a+b+c+d}$$に代入すると、$${0=1+a+c⇔a+c=-1}$$。

• $${b+d=1⇔d=1-b、a+c=-1⇔c=-(a+1)}$$

• $${\{f(x)-g(x)\}^2}$$は全体を$${2}$$乗しているので偶関数であるから、$${\displaystyle \int_{-1}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2dx = 2\int_{0}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2dx }$$となるので、$${\displaystyle\int_{0}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2dx }$$が最小の時に、$${\displaystyle \int_{-1}^{1}\{f(x)-g(x)\}^2dx }$$が最小になる。

• $${\displaystyle \int_{0}^{1}(x^4-1)^2dx}$$は何らかの定数になるので、最小値を決定するのに無関係だから計算する必要がない。

• $${\displaystyle \int_{0}^{1}x^2(x^2-1)^2dx }$$は負にならないから、$${\displaystyle a^2\int_{0}^{1}x^2(x^2-1)^2dx }$$が最小になるのは$${a^2}$$のとき。

• 一般に$${\displaystyle h(ω)=αω^2+βω+γ=α\left(ω^2+\frac{β}{α}ω\right)+γ=α\left(ω+\frac{1}{2}\frac{β}{α}\right)^2+γ-\frac{β^2}{4α}}$$だから$${h(ω)}$$は、$${\displaystyle ω=-\frac{β}{2α}}$$のとき最小になる。

• $${(x^2-1)(x^4-1)=x^6-x^2-x^4+1、(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1}$$。

問５３

• $${\rm P,Q}$$は$${y=x^2}$$上の点だから$${\mathrm{P}(p,p^2)}$$、$${\mathrm{Q}(q,q^2)}$$。

• $${\displaystyle 2px-p^2=2qx-q^2⇔2px-2qx=p^2-q^2⇔2x(p-q)=p^2-q^2⇔x=\frac{p^2-q^2}{2(p-q)}=\frac{(p-q)(p+q)}{2(p-q)}}$$。

• $${l_p:y=2px-p^2}$$に$${\displaystyle x=\frac{(p+q)}{2}}$$を代入して、$${\displaystyle y=2p\frac{p+q}{2}-p^2}$$。

• $${l_p}$$と$${l_q}$$の交点の$${x}$$座標の値が$${\displaystyle X=\frac{(p+q)}{2}}$$がだから、$$S$$は$${p< x <X}$$の範囲では$${y=x^2}$$と$${l_p}$$、$${X< x < q}$$の範囲では$${y=x^2}$$と$${l_q}$$に挟まれた面積。

• $${x^2-l_p}$$は、$${l_p}$$が$${y=x^2}$$が$${x=p}$$で接点をもつから、$${x^2-l_p=(x-p)^2}$$と表せる。

• $${\displaystyle \int_p^X (x-p)^2dx=\left[ \frac{1}{3} (x-p)^3 \right]_p^X}$$。

• $${\displaystyle X=\frac{p+q}{2}⇔p+q=2X、 Y=pq }$$を$${(p+q)^2-4pq=6^2}$$に代入して$${4X^2-4Y=36⇔4X^2-36=4Y⇔X^2-9=Y}$$。

問５４

【解答１】

• $${f(x)}$$の値が積分範囲で、(ⅰ)常に正、(ⅱ)常に負、(ⅲ)負から正、(ⅳ)正から負に変化する4つの場合で、絶対値の外し方がが異なる。

• $${f(x)}$$の値が積分範囲で常に正のときは、$${|ax+b|=ax+b}$$。$${\displaystyle \int_{-1}^1(ax+b)dx=\left[\frac{1}{2}ax^2+bx \right]_{-1}^1 =\frac{1}{2}a+b-\left\{\frac{1}{2}a-b \right\}=2b}$$。

• $${f(-1)=-a+b≧0 ⇔ b≧a、f(1)=a+b≧0⇔ b≧-a}$$

• $${2b≦2⇔b≦1、-2b≦2⇔b≧-1}$$

• $${f(x)}$$の符号が積分範囲で変わるときは、$${|ax+b|}$$は$${f(x)=0}$$を境に符号が異なり、$${\displaystyle f(x)=0⇔ax+b=0⇔x=-\frac{b}{a}}$$である。

• $${(a,b)}$$の範囲は、$${ \{b≧aかつb≧-aかつb≦1\}または\{b< aかつb<-aかつb≧-1\} または\{b≧-aかつb< aかつ(a-1)^2+b^2≦1 \}または\{b≧aかつb< -aかつ(a+1)^2+b^2≦1 \} }$$。

【解答２】

• $${\displaystyle ax+b=1⇔x=-\frac{b}{a}}$$だから$${\displaystyle \left|-\frac{b}{a} \right|≧1 }$$のときは積分範囲で被積分関数の符号が変わらないから、$${\displaystyle \int_{-1}^1|ax+b|dx=\left| \int_{-1}^1(ax+b)dx \right|=\left| \left[\frac{a}{2}x^2+bx \right]_{-1}^{1} \right|=|2b|=2|b|}$$となるから、$${ 2|b| ≦2 ⇔ |b| ≦1}$$かつ$${\displaystyle \left|-\frac{b}{a} \right|≧1⇔|b|≧|a|}$$。

• $${\displaystyle \left|-\frac{b}{a} \right|≧1 }$$のときは$${\displaystyle -\frac{b}{a} }$$で被積分関数の符号が変わるから、$${\displaystyle \int_{-1}^1|ax+b|dx=\left| \int_{-1}^{-\frac{b}{a}}-(ax+b)dx+\int_{-\frac{b}{a}}^{1}(ax+b)dx \right| }$$。

• $${a^2+b^2}$$は常に正だから、$${\displaystyle \left| \frac{a^2+b^2}{a}\right|=\frac{a^2+b^2}{|a|} }$$。

• $${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{|a|}≦2⇔a^2+b^2≦2|a| ⇔a^2-2|a| +b^2≦0 ⇔(|a|-1)^2+b^2-1≦0⇔(|a|-1)^2+b^2≦1 }$$。

• $${(|a|-1)^2+b^2≦1 }$$は、$${(-a-1)^2+b^2≦1⇔(a+1)^2+b^2≦1 }$$と$${(a-1)^2+b^2≦1 }$$。

問５５

（１）

• $${C_1}$$が$${\rm A}$$を通るから、$${\displaystyle y=px^4+qx^2+1}$$に$${x=1,y=0}$$を代入して$${0=p+q+1}$$。

• $${C_1}$$と$${C_2}$$の接線も$${\rm A}$$を通るから、$${y'=4px^3+2qx、y'=2ax}$$に$${x=1,y=0}$$を代入して$${0=4p+2q、0=2a}$$。

• $${ 4p+2q=2a ⇔ 2p+q=a⇔q=a-2p}$$。

• $${p+q+1=0}$$に$${q=a-2p}$$を代入して$${p+a-2p+1=0⇔ a+1=p}$$。

• $${a+1=p}$$を$${q=a-2p}$$に代入して$${q=a-2(a+1)=-a-2}$$。

（２）

• $${C_1:y=px^4+qx^2+1}$$に$${p=a+1、q=-(a+2)}$$を代入して$${\displaystyle y=(a+1)x^4-(a+2)x^2+1=(a+1)x^4-(a+1)x^2-x^2+1=(a+1)\left(x^4-x^2-\frac{x^2-1}{a+1}\right)=(a+1)\left(x^4-x^2-\frac{x^2-1}{a+1}\right)=(a+1)\left\{x^2(x^2-1)-(x^2-1)\frac{1}{a+1} \right\}=(a+1)(x^2-1)\left(x^2-\frac{1}{a+1} \right)}$$。

• $${\displaystyle f(x)=(a+1)(x^2-1)\left(x^2-\frac{1}{a+1} \right)}$$とすると、$${f(x)＝f(-x)}$$だから、$${f(x)}$$は$${x=0}$$すなわち$${y}$$軸に対して対称。

• $${f(x)=0}$$の解は、$${\displaystyle (x^2-1)=0、\left(x^2-\frac{1}{a+1} \right)=0}$$より、$${\displaystyle x=±1、x=±\frac{1}{\sqrt{a+1}}}$$となるから、$${0< x<1}$$の範囲で$${f(x)=0}$$になる点が$${1}$$以外にあるとき、すなわち、$${\displaystyle 0 < \frac{1}{\sqrt{a+1}} <1 }$$あれば、$${0< x<1}$$の範囲で$${f(x)}$$を積分したときにその値が$${0}$$になる$${a}$$がある。

• $${0< x<1}$$の範囲で$${f(x)=0}$$になる点が$${1}$$以外にないとき、すなわち、$${\displaystyle 1 < \frac{1}{\sqrt{a+1}}  }$$であるときは、$${\displaystyle 0< x<\frac{1}{\sqrt{a+1}}}$$の範囲で$${f(x)}$$を積分しないとその値が$${0}$$になることがない。

問５６

（１）

• 点$${\rm P、Q}$$それぞれ$${1}$$秒に$${1}$$進むとして、$${\rm B}$$を出発して$${1}$$秒後の$${\rm P}$$の位置が$${\rm A}$$であるから、$${t(0< t< 1)}$$秒後の$${\rm P}$$の位置は$${\mathrm{P}(t,1-t)}$$となる。同様に$${t}$$秒後の$${\rm Q}$$の位置は$${\mathrm{Q}(1+t,t)}$$となる。

• 直線$${\rm PQ}$$の傾きは$${\displaystyle\frac{t-(1-t)}{t+1-t}=2t-1}$$となり、これが点$${\rm P}$$を通るから、$${y=(2t-1)(x-t)+1-t}$$。

• $${y=(2t-1)(k-t)+1-t=2tk-2t^2-k+t+1-t=-2t^2+2tk-k+1}$$

• $${\displaystyle f(t)=-2\left(t-\frac{k}{2} \right)^2+\frac{k^2}{2}-k+1 }$$だから、$${\displaystyle  t=\frac{k}{2} }$$のとき$${f(t)}$$が最大。

• $${t}$$の範囲を$${0≦ t ≦ k }$$としたから、$${f(t)}$$の最小値は$${t=0}$$または$${t=k}$$のとき。

• $${l(k)}$$は$${x=k}$$で固定したときの$${f(t)}$$の最大値と最小値の差。

（２）

• $${x=k}$$としたから$${k}$$の範囲は$${x}$$と同じ。

（３）

• 回転体は、曲線$${\rm BC}$$を回転させてできる立体から、直線$${\rm BA}$$を回転させてできる立体を除いたもの。

• 曲線$${\rm BC}$$の方程式は、$${x=k}$$のときの曲線$${\rm BC}$$の値だから、$${l(k)}$$に$${f(t)}$$の最小値$${1-k}$$を加えたもの。

問５７

（１）

• $${B}$$は$${V}$$の底面上に中心があるから半球体。

• $${B}$$は全ての辺と接し、$${V}$$は1辺の長さが$${a}$$の正方形であるから、$${B}$$の半径は$${\displaystyle \frac{a}{2}}$$。

• $${\rm AB}$$と$${B}$$接する点はその中点であり、これを$${\rm M}$$とすると、$${\mathrm {OM}}$$は$${B}$$の半径だから、$${\displaystyle \frac{a}{2}}$$。

• $${\rm AM}$$は底面の正方形の1辺の半分だから、$${\displaystyle \frac{a}{2}}$$なので、三平方定理で$${\displaystyle \mathrm{OA}=\sqrt{\left(\frac{a}{2} \right)^2+\left(\frac{a}{2} \right)^2 }=\sqrt{\frac{2a^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt 2} }$$。

• $${\rm H}$$も$${\rm AT}$$と$${B}$$との接点だから$${\rm OH}$$も$${\displaystyle \frac{a}{2}}$$で$${\rm ∠OHA}$$は直角なので、$${\displaystyle \mathrm{OA}=\frac{a}{\sqrt 2} }$$から、三平方の定理で$${\displaystyle \mathrm {AH}=\frac{a}{2}}$$ 。

• $${\displaystyle \mathrm {AH=OH}}$$だから$${ \rm △OHA}$$は2等辺三角形で、$${\rm ∠OHA}$$は直角なので、$${\rm ∠HAO=∠OAT=45°}$$。

• $${\rm ∠OAT=45°}$$で$${\rm ∠TOA}$$が直角だから、$${\rm ∠ATO=45°}$$で、$${ \rm △TOA}$$は2等辺三角形になるから、$${\rm OA=OT}$$。

（２）

• 求める体積は、$${B}$$の半球が$${V}$$からはみ出た部分を除いたもの。

• 正四角錐だから、$${W}$$は各側面にあるので、全部で4つ。

• $${\displaystyle x^2+y^2=\left (\frac{a}{2} \right) ^2⇔y^2=\left (\frac{a}{2} \right) ^2-x^2}$$

• $${\displaystyle \int_\frac{a}{\sqrt6}^{\frac{a}{2}}y^2dx= \int_\frac{a}{\sqrt6}^{\frac{a}{2}} \left\{ \left(\frac{a}{2} \right)^2 -x^2 \right\} dx=\left[\left(\frac{a}{2} \right)^2x-\frac{1}{3}x^3 \right]_\frac{a}{\sqrt6}^{\frac{a}{2}} }$$。