やさしい理系数学～３～

　このシリーズは、河合塾の「やさしい理系数学」の解答/解説に注釈をつけて、解りやすくしたものです。元の「やさしい理系数学（改訂版）」を見ながらでないと、このnoteだけでは何のことを書いてるか解らないです。
　なお、執筆時点の最新版である三訂版ではないので、注意してください。

例題８

1⃣

• $${\rm △OO’D}$$と$${\rm △AA’D}$$について、$${\rm ∠OO’D=∠AA'D=90°}$$、$${\rm OO’}$$と$${\rm AA'}$$は垂線だから平行なので$${\rm ∠DOO’=∠DAA'}$$、$${\rm ∠ODO’=∠ADA'}$$だから、$${\rm △OO’D≡△AA’D}$$。

• $${\rm △BOC}$$と$${\rm △ABC}$$について、辺$${\rm BC}$$が共通だから、面積は高さに比例する。

例題９

1⃣

• $${\rm ∠BEC=∠BDC=90°}$$だから、中心角の定理で点$${\rm E}$$と点$${\rm D}$$は、$${\rm BC}$$を直径とする円の円周上の点。

• 点$${\rm D}$$は、$${\rm BC}$$を直径とする円の円周上の点だから、$${\rm ∠BDC}$$が$${90°}$$だから、$${\rm AC}$$はこの円の接線。

• 点$${\rm E}$$は、$${\rm BC}$$を直径とする円の円周上の点で、$${\rm AC}$$はこの円の接線だから、接弦定理により、$${\rm ∠BEC=∠ADE}$$

• $${\rm ∠BEC=∠ADE}$$で$${\rm ∠TAC=∠ABC}$$だから、$${\rm ∠TAC=∠ADE}$$なので、$${\rm TA \parallel DE}$$。

• $${\rm AO}$$は、円$${O}$$の半径だから、$${\rm ∠TAO}$$は$${90°}$$。

• $${\rm TA \parallel DE}$$だから、$${\rm AO}$$との交点の角度も$${\rm ∠TAO}$$と同じく$${90°}$$。

2⃣

• 円周角の定理から$${\rm ∠ACB=2∠AQB}$$。$${\rm ∠ACB=2∠ARB }$$。

• $${\mathrm{ ∠AQB}=α}$$とすると、$${\rm ∠ACB}$$の鋭角側が$${2α}$$になるので、鈍角側は$${2π-2α}$$となるから、$${\mathrm{∠ARB}=π-α }$$。

• $${\mathrm{∠ARB}=π-α }$$だから、$${\mathrm{∠ARP}=α }$$。

• $${\Box \rm PACB}$$は円に内接しているから、その対角の和は$${180°}$$である。

例１０

【解答１】（１）

• 最短の$${l}$$は、展開したときにAA'を結ぶ直線である。

• 点$${\rm P }$$は$${\rm OB}$$上の点で、点$${\rm Q}$$は$${\rm OC}$$上の点なので、展開図では$${\rm F}$$に相当する。

• $${\rm △OAB}$$について、$${\rm OA=OB}$$なので、二等辺三角形なので、$${\mathrm{ ∠OAB=∠OBA }$$。

• $${\rm OA=OC,AB＝CA’}$$だから$${\rm △OAB≡△OA'C}$$なので、$${\rm OE:EB=OF:FC}$$になるから、中点連結定理で$${\rm EF \parallel BC}$$。

• $${\rm EF \parallel BC}$$だから、$${\rm ∠OBC=∠OEF=∠AEB}$$。

• $${\rm △OAB}$$と$${\rm △ABE}$$について、$${\rm ∠OBA=∠EBA }$$で$${\rm ∠OAB=∠AEB }$$だから、相似と言える。

• $${\rm △OBC}$$と$${\rm △AEF}$$について、$${\rm EF \parallel BC}$$だから、$${\rm ∠OBC=∠OEF,∠OCB=∠AEB}$$で、相似と言える。

【解答１】（２）

• $${\rm △OAB∽△ABE}$$だから、$${\rm △ABE}$$は二等辺三角形で$${\rm AE=AB=1}$$。

• ${\rm P=E,Q=F}$$だから、 $${\rm AP=AE,AQ=AB,AP=AQ=1}$$。

• $${\displaystyle \mathrm{EM=\frac{1}{2}AA' -AE}=\frac{3}{8}}$$。

•  $${\rm AP=AQ}$$で$${\rm M}$$が$${\rm PQ}$$の中点だから、$${\rm AM}$$と$${\rm PQ}$$は直交する。

【解答１】（３）

• $${\rm △OBC}$$を底面とみる。

• $${V}$$と$${V_1}$$は高さが共通なので、体積比は底面積の比に等しい。

• $${\rm △OBC∽△OEB}$$で、$${\displaystyle \rm OB:OE=2:\frac{3}{2}=4:3}$$だから、面積比は相似比の$${2}$$乗だから、$${\rm △OBC:△OEB=4^2:3^2=16:9}$$。

【解答２】（１）

• 余弦定理より$${\displaystyle \rm AB^2=OA^2 +OB^2-2・OA・OB\cosθ⇔ 2・OA・OB\cosθ=OA^2+OB^2-AB^2⇔\cosθ=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2・OA・OB} }$$。

• $${3}$$倍角の公式。

【解答２】（２）

• （１）より$${\displaystyle \rm AA'=\frac{11}{4}}$$。

• $${2}$$倍角の公式。

• $${\displaystyle \sinφ=\frac{\frac{3}{8}}{1}=\frac{3}{8}}$$。

• $${\displaystyle \cosφ=\sqrt{8^2-3^2}=\sqrt{55}}$$。

【解答２】（３）

• $${\displaystyle \frac{V_1}{V}=\frac{\rm OAEFの体積}{\rm OABCの体積} }$$。

• $${\rm OAEF}$$と$${ \rm OABF}$$の体積の比は、$${\rm △OAF}$$を底面と見て、$${\rm OE}$$と$${\rm OB}$$の比に等しい。

• $${\rm OABF}$$と$${ \rm OABF}$$の体積の比は、$${\rm △OAB}$$を底面と見て、$${\rm OF}$$と$${\rm OC}$$の比に等しい。

問１９

（３）

• 円に内接する四角形の対角の和は180°

（４）

• $${\rm BC=CD}$$だから$${\rm △CBD}$$が二等辺三角形だから$${\rm ∠DBC=∠BDC}$$。

• 円周角の定理で、$${\rm ∠BDC=∠BAC}$$。

• 円周角の定理で、$${\rm ∠ABD=∠ACD}$$。

• $${\rm ∠ADC＋∠DAC＋∠ACD=180°}$$で、$${\rm ∠ADC=120°、∠ABD=∠ACD、∠ABD=60°-∠DBC}$$だから、$${120°+∠DAC＋60°-∠DBC=180°⇔∠DAC=∠DBC}$$。

• $${\rm ∠DAC=∠DBC=∠BDC=∠BAC}$$となるから、$${\rm AC}$$は$${\rm ∠BAD}$$を2等分する。

• $${\rm AE}$$が$${\rm ∠BAD}$$の2等分線なので、$${\rm BE:ED=BA:AD}$$ 

（５）

• $${\rm △ABC}$$において、$${\rm AC}$$を底辺とみると高さは$${\rm　BE\sinβ }$$。

• $${\rm ∠BEC=∠AED}$$。

問２０

【解答１】

• $${\rm △ABH}$$において中点連結定理によって$${\rm AH}$$と$${\rm IG}$$は平行であり、$${\rm △AFH}$$においても同様に、$${\rm AH}$$と$${\rm EK}$$は平行であるから、$${\rm IE \parallel GK}$$と併せて、四角形$${\rm IGKE}$$は平行四辺形。

• 点$${\rm J}$$は平行四辺形$${\rm IGKE}$$の対角線の交点であるから、それぞれの対角線の$${2}$$等分点になっている。

【解答２】

• 点$${\rm J}$$は$${\rm EG}$$の中点であるから、$${\displaystyle \rm \overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AG} \right) }$$。

• $${\displaystyle \rm \overrightarrow{AE}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AD} }$$。

• $${\displaystyle \rm \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG} }$$で、$${\displaystyle \rm \overrightarrow{BG}=\frac{1}{3} \overrightarrow{BC} }$$だから、$${\displaystyle \rm \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3} \overrightarrow{BC} }$$。

問２１

【解答１】

• $${\rm OP}$$の傾きは$${\displaystyle \frac{Y}{X} }$$だから、これと直交する$${l}$$の傾きは$${\displaystyle -\frac{X}{Y} }$$となり、$${l}$$は、$${\rm OP}$$の中点$${\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{X}{2},\frac{Y}{2} \right) }$$を通るから、$${l}$$の方程式は、$${\displaystyle y=-\frac{X}{Y} \left(x-\frac{X}{2} \right)+\frac{Y}{2} }$$である。

• 点$${\rm R}$$の$${y}$$座標$${x_{\rm Q}}$$は、$${2Xx+2Yy=X^2+Y^2}$$に$${ x=0 }$$を代入して求める。

• $${\mathrm{ OA=OC}=a}$$だから、$${x_{\rm Q}}$$と${y_{\rm R}}$$

• $${(X-a)^2+Y^2≦a^2 }$$は、$${(a,0)}$$を中心とする半径$${a}$$の円の内側。

【解答２】

• $${\rm ∠PSQ=∠PMQ=90°}$$で対角の和が$${180°}$$だから、四角形$${\rm PSQM}$$は、円に内接する。

• $${\rm ∠PMR=∠PTR}$$だから、円周角の定理で、点$${\rm P,R,T,M}$$は同一円周上にある。

• $${\displaystyle \mathrm{OP}=\sqrt{X^2+Y^2}、 \mathrm{OM=\frac{1}{2}OP}=\frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{2} }$$だから、$${\displaystyle \mathrm{OP・OM}==\frac{X^2+Y^2}{2} }$$。

問２２

【解答１】

• $${\displaystyle \mathrm{△PAB}=\frac{1}{2}xh_1、\mathrm{△PDC}=\frac{1}{2}yh_2、\mathrm{△ABC}=\mathrm{△ABD}+\mathrm{△ACD}=\frac{1}{2}lh_1＋\frac{1}{2}lh_1}$$。

• $${2(h_1x+h_2y)=(h_1+h_2)l}$$に$${y=l-ｘ}$$を代入して、$${2\{h_1x+h_2(l-x)\}=(h_1+h_2)l⇔2x(h_1-h_2)+2h_2l-h_1l-h_2l=0 ⇔ 2x(h_1-h_2)+(h_2-h_1)l=0 ⇔ 2x(h_1-h_2)-(h_1-h_2)l=0 ⇔(h_1-h_2)(2x-l)=0}$$。

• $${h_1=h_2}$$となるときは$${\rm D}$$が$${\rm BC}$$の中点。

【解答２】

• $${ \mathrm{△PAB}=t \mathrm{△ABD}、\mathrm{△ABD}=a \mathrm{△ABC}}$$。

• $${ \mathrm{△PCD}=(1-t) \mathrm{△ACD}、\mathrm{△ACD}=(1-a) \mathrm{△ABC}}$$。

• $${\displaystyle \rm △PAB+△PCD=\frac{1}{2}△ABC⇔\frac{△PAB}{△ABC}+\frac{△PCD}{△ABC}=\frac{1}{2} }$$。

問２３

• $${\rm △ABD}$$と$${\rm △ACE}$$において、$${\rm ∠ADB=90°、∠AEC=90°}$$で、$${\displaystyle \rm ∠BAB=∠EAC=90°}$$だから、相似。

• $${\rm △ABD}$$と$${\rm △ACE}$$が相似だから、$${\rm AB:AC=AD:AE}$$で、$${\rm AB=4、AC=3}$$なのでこれを代入して、$${\displaystyle\rm AB:AC=AD:AE⇔4:3=AD:AE⇔4AE=3AD⇔AE=\frac{3}{4}AD}$$。

• $${\rm △BDA}$$と$${\rm EC}$$でメネラウスの定理を用いると、$${\displaystyle \rm \frac{BF}{FD}・\frac{DC}{CA}・\frac{AE}{EB}=1}$$。

• $${\rm F}$$は$${\rm BD}$$を$${5：1}$$に内分するから、$${\displaystyle \rm \frac{BF}{FD}=\frac{5}{1}。

• ｃ\displaystyle\rm AE=\frac{3}{4}AD}$$で$${\mathrm{AD}=x}$$とするから、$${\displaystyle\mathrm{AE}=\frac{3}{4}x}$$、$${\displaystyle\mathrm{EB}=\mathrm{AB-AE} =4-\frac{3}{4}x}$$、$${\displaystyle\mathrm{DC=AC-AD}=3-x }$$。

問２４

【解答１】（１）

• $${\rm  △OPQ}$$における正弦定理は$${\displaystyle \frac{1}{\sin\mathrm{∠QOP}}=\frac{\rm OP }{\sin\mathrm{∠OQP}}}$$。

【解答２】（１）

• $${\rm O、P}$$が$${\rm R}$$を中心とする$${C}$$の円周上にあるから$${\rm OR=OP}$$

問２５

• $${\rm O、B、C、D}$$が同一平面上にあり、$${\rm B、C、D}$$が球面にあるから、$${\rm O、B、C、D}$$を含む面は、$${S}$$を半分にする断面。

• $${\rm ABCD}$$は正四面体だから$${\rm AO}$$と$${\rm BO、CO、DO}$$は直角に交わる。

• $${\rm ABCD}$$は正四面体だから$${\rm △BCD}$$は正三角形で、$${S}$$の中心を通るので、$${\rm BO=CO=DO=1}$$。

• $${\rm APQR}$$と$${\rm ABCD}$$は$${\rm A}$$を共有した正四面体だから、$${\rm APQR}$$は$${\rm ABCD}$$の一部だから、$${\rm A、P、B}$$は同一直線上にあるといえる。

• $${\rm △ABO}$$と$${\rm △OBH}$$において、$${\rm ∠AOB=90°、∠OHB=90°}$$で、$${\rm ∠ABO=∠OBH}$$なので、相似。

問２６

• 円弧$${\rm AB}$$は$${\rm S}$$を中心とする円の一部であり、球$${K}$$ の中心は$${\rm NS}$$の中点であるから、$${\rm NP}$$の中点$${\rm Q}$$は、$${\rm NS}$$の中点を中心として面$${\rm ABS}$$に平行な円の円周上にある。

• 円$${C}$$は、球$${K}$$ の面$${\rm NAB}$$による断面。

• $${\rm SN=2、SA=2、SB=2}$$だから、$${\rm NA=NB=AB=2\sqrt2}$$で、$${\rm △NAB}$$は正三角形。

• $${\rm A'、B'}$$は、$${\rm NA、NB}$$の中点であるから、$${\rm △NA'B'}$$は正三角形で1辺の長さは$${\sqrt2}$$。

• $${\rm △NA'B'}$$は正三角形だからその重心は、円$${C}$$の中心と一致する。

• 円$${C}$$の半径を$${r}$$とすると、$${\displaystyle r\sin30°=\frac{\sqrt2}{2}⇔r \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt2}{2} ⇔ r=\frac{\sqrt2}{\sqrt{3}} }$$。