ハイレベル理系数学～５～

　このシリーズは、河合塾の「ハイレベル理系数学」の解答/解説に注釈をつけて、解りやすくしたものです。元の「ハイレベル理系数学（三訂版）」を見ながらでないと、このnoteだけでは何のことを書いてるか解らないです。

例題１４

1⃣（２）_２

• $${ \displaystyle f'(x)= \frac{\frac{1}{x}x-\log{x}}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2} }$$よって、$${x=e}$$のとき$${\log x =1}$$だから$${f'(x)=0}$$

• 対数をとっても不等号は変らない。

1⃣（２）_１

• $${3^2>2^3}$$で両辺に対数をとると$${ \displaystyle \log_2(3^2)>\log_2(2^3)⇔\log_2(3^2)>3⇔2\log_2(3)>3⇔\log_2(3)>\frac{3}{2}}$$。

1⃣（２）_２

• $${ \log3}$$ と$${ \log\left(2^{\sqrt{2}} \right) }$$の大小関係は、$${3}$$と$${2^{\sqrt{2}} }$$の大小関係と同じ。

• $${\log_2(3)-\log_3(4)>0⇔\log_2(3)>\log_3(4)}$$。

• $${2^{\frac{3}{2}}=2 \sqrt{2} ≒2.8}$$。

2⃣_１

• $${\displaystyle \cos\left(\frac{6}{9}π\right)=\cos\left(\frac{2}{3}π\right)=\cos120°}$$

2⃣_2

• $${\rm{A_0～A_8}}$$は同じ円周上にあるから、原点から各点までの距離は全て同じ。

• $${\displaystyle \rm{∠A_1OA_0=\frac{12π}{9}、∠A_2OA_0=\frac{22π}{9}}}$$、…。

3⃣（１）

• $${\cos5θ}$$を$${\cosθ}$$で表して、$${\cosθ}$$を$${x}$$に置き換える。

3⃣（２）

• $${\displaystyle θ=\frac{π}{10}、\frac{3π}{10}、\frac{7π}{10}、\frac{9π}{10} }$$のとき$${5θ}$$は$${2nπ}$$になるから、このときの$${\cos5θ}$$はいずれも$${0}$$。

• $${\cos5θ=f(\cosθ)}$$で、$${\cos5θ=0}$$なのだから、$${f(\cosθ)=0}$$。

• $${f(x)=0}$$になる$${x}$$が解であるから、$${f(\cosθ)=0}$$のとき、$${x=\cosθ}$$だから、$${\displaystyle x=\frac{π}{10}、\frac{3π}{10}、\frac{7π}{10}、\frac{9π}{10} }$$で、$${f(\cosθ)=f(x)=0 }$$。

• $${f(x)=16x^5-20x^3+5x=0 }$$の解は$${5 }$$次式だから5個あるが、1つは$${x=0 }$$が自明。

• $${16x^5-20x^3+5x=0 }$$で$${x≠0 }$$のとき、$${16x^4-20x^2+5=0 }$$

• 解と係数の関係では、何次であっても、全ての解の積は、定数項を最高次の係数で割ったものに等しい。

例題１５

【解答１】（１）

• 三角関数の合成。$${ a\cosθ+b\sinθ=\sqrt{a^2+b^2}・\sin(θ+α) }$$

• $${ \cos^2β+\sin^2β=1、\cos^2α+\sin^2α=1}$$

• $${\displaystyle \cosα=-\frac{1}{2}}$$のとき、$${α}$$は$${120°}$$または$${240°}$$だが、$${α ＜ β }$$としたから、$${α=120°}$$

【解答１】（２）

• 原点を中心として$${\rm{A}}$$点と反対側の点を$${\rm{A'}}$$とすると、中心角の定理で、$${\rm{∠PA'A}}$$は$${θ}$$の半分。$${\rm{∠APA'}}$$は直角となる。

• $${\rm{AA'}}$$は2で、$${\rm{△APA'}}$$は$${\rm{∠APA'}}$$を直角とする直角三角形で、$${\rm{AA'}}$$が斜辺、$${\rm{∠PA'A}}$$は$${\displaystyle \frac{θ}{2}}$$だから、$${\rm{PA}}$$ $${ \displaystyle =2\sin\left( \frac{θ}{2} \right) }$$

• 同様に$${\rm{PB,PC}}$$についても、中心角の$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$の円周角の$${ \sin }$$をとることで求める。

• $${\displaystyle \sin \left( \frac{π}{3} - \frac{θ}{2} \right)=\sin\left( \frac{π}{3} \right)\cos\left( \frac{θ}{2}\right)-\cos\left( \frac{π}{3} \right)\sin\left( \frac{θ}{2} \right)=\sqrt{\frac{3}{2}} \cos \left( \frac{θ}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \sin\left( \frac{θ}{2} \right) }$$

• $${\displaystyle \sin \left( \frac{2π}{3}-\frac{θ}{2} \right)= \sin\left( \frac{2π}{3}\right) \cos\left(\frac{θ}{2}\right)- \cos\left(\frac{2π}{3}\right)\sin \left( \frac{θ}{2}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}} \cos\left(\frac{θ}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(\frac{θ}{2}\right) }$$

• $${\displaystyle \sin\left( \frac{θ}{2} \right) +\sqrt{3}\cos\left( \frac{θ}{2} \right)=2\left\{ \frac{1}{2}\sin\left( \frac{θ}{2} \right)+\sqrt{\frac{3}{2}}\cos\left(\frac{θ}{2}\right)\right\} }$$、ここで $${\displaystyle \cos\left( \frac{π}{3} \right)=\frac{1}{2}、\sin\left(\frac{π}{3}\right)=\sqrt{\frac{3}{2}} }$$だから、$${\displaystyle 2\left\{\frac{1}{2}\sin\left(\frac{θ}{2}\right)+\sqrt{\frac{3}{2}}\cos\left(\frac{θ} {2}\right)\right\}=2\left\{\sin\left(\frac{π}{3}+\frac{θ}{2}\right)\right\} }$$

• $${\rm{P}}$$は最大でも$${\rm{B}}$$に重なるだけだから、$${θ}$$の最大値は$${\displaystyle \frac{2π}{3} }$$。

【解答２】（１）

• 円周角の定理で$${\rm{BP}}$$が共通だから$${\rm{∠BCP}}$$と$${\rm{∠BAP}}$$は等しい。

• $${\displaystyle \cos\left(\frac{2π}{3}\right)=-\frac{1}{2}}$$

【解答３】（２）_１

• 円周角の定理より、$${\rm{∠APC=∠ABC=60°、∠BPC=∠BAC=60°}}$$よって、$${\rm{∠QPB=180°-∠APC-∠BPC=60°}}$$

• $${\rm{QP=PB}}$$で$${\rm{∠QPB=60°}}$$だから、$${\rm{△BPQ}}$$は正三角形。

• 円周角の定理より$${\rm{∠PAB=∠PCB、∠QBA=∠QBP+∠PBA}}$$で$${\rm{∠PBC=∠ABC+∠PBA}}$$、ここで$${\rm{∠QBP=∠ABC=60°}}$$だから、$${\rm{∠QBA=60°+∠PBA、∠PBC=60°+∠PBA}}$$なので$${\rm{∠QBA=∠PBC、BA=BC}}$$、よって$${\rm{△ABQ}}$$と$${\rm{△CBP}}$$は合同。

• $${\rm{PA+PB＋PC=2PC}}$$になるから、$${\rm{P}}$$が$${\rm{BC}}$$上にあって$${\rm{PC}}$$が最大のときと最小のときを考える。

【解答３】（２）_２

• $${0}$$は$${\rm{△ABC}}$$の外接円の中心だから重心なので、$${\rm{∠OAC}}$$は$${\rm{∠BAC}}$$の半分

• $${\rm{CA}}$$は$${\rm{∠AOC}}$$が$${\rm{120°、OA}}$$が半径で$${1}$$なので余弦定理で求まる。

• $${\rm{∠BPC=∠BAC、∠CPA=∠ABC}}$$で、$${\rm{∠BCA=∠ABC=60°}}$$だから、$${\rm{∠APB=∠BPC+∠CPA=120°}}$$

問４３

【解答１】

• 3倍角と2倍角の公式

• $${4\cos^2(x)-4\cos(x)-1-a^2}$$は、$${\cos(x)}$$を$${t}$$とおいて解の公式で因数分解する。

• $${\displaystyle \cos(x)=\frac{1-a}{2} ⇔ \cos(x)-\frac{1-a}{2}=0 }$$

• $${ \cos(x) }$$は $${-1}$$から$${1}$$の値しかとらない。よって、$${\displaystyle \cos(x)-\frac{1-a}{2}=0 }$$が成り立つのは、$${\displaystyle \frac{1-a}{2}}$$が$${-1}$$から$${1}$$の範囲。

• $${0≦x≦π}$$の範囲で、$${\cos(x)}$$の値は$${x}$$の値に対して1つしかない。

【解答２】

• $${ t=\cos(x) }$$だから、$${x}$$が$${0}$$から$${π}$$のとき$${t}$$は$${-1}$$から$${1}$$。

問４4

（１）

• 三角関数の合成

• $${\displaystyle \cosθ+\sinθ=\sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cosθ+\frac{1}{\sqrt{2}}\sinθ \right)=\sqrt{2}\left( \sin\left(\frac{π}{4}\right)\cosθ+\cos\left(\frac{π}{4}\right)\sinθ\right)=\sqrt{2}\sin\left(θ+\frac{π}{4}\right) }$$

• $${\displaystyle -1≦\sin\left(θ+\frac{π}{4}\right)≦1}$$だから、$${\displaystyle -\sqrt{2} ≦ \sqrt{2}\sin\left(θ+\frac{π}{4}\right) ≦ \sqrt{2}⇔-\sqrt{2} ≦ \cosθ+\sinθ≦\sqrt{2} }$$

• $${\displaystyle \sqrt{2}< \frac{π}{2}}$$だから、$${ -\sqrt{2} ≦ \cosθ+\sinθ ≦ \sqrt{2} }$$の$${ \sqrt{2} }$$を$${\displaystyle \frac{π}{2} }$$で置き換えて、$${\displaystyle -\frac{π}{2}< \cosθ+\sinθ < \frac{π}{2} }$$。

（２）_１

• $${ \displaystyle -\frac{π}{2} < \cosθ+\sinθ< \frac{π}{2}⇔0 < \cosθ+\sinθ+\frac{π}{2}< π⇔0 < \frac{1}{2}\left( \cosθ+\sinθ+ \frac{π}{2} \right) < \frac{π}{2}、\frac{1}{2}\left(\cosθ+\sinθ+\frac{π}{2}\right) }$$を$${α}$$とおけば、$${0 < α < \frac {π}{2} }$$。

• $${0<α<\frac{π}{2}}$$のとき$${\cosα}$$は正

（２）_２

• $${\cosθ}$$の最小は$${-1}$$だから、$${ \displaystyle \frac{π}{2}-\cosθ }$$は$${π}$$より小さい。

• $${\displaystyle π > \left| \frac{π}{2}-\cosθ \right|>|\sinθ|≧0 }$$だから、$${0}$$から$${π}$$の間で、$${\displaystyle \left| \frac{π}{2}-\cosθ \right|>|\sinθ| }$$。

• $${ \cos(x) }$$は単調減少だから$${a>b}$$ならば$${\cos(a)<\cos(b)}$$、よって、$${a}$$に$${ \left| \frac{π}{2} -\cosθ \right| }$$、$${b}$$に$${|\sinθ|}$$を代入すると、$${\displaystyle  \cos\left( \left| \frac{π}{2}-\cosθ \right|\right)<\cos(|\sinθ|)}$$。

• $${\displaystyle  \cos\left(x+\frac{π}{2} \right)=-\sin(x)⇔-\cos\left(x+\frac{π}{2}\right)=\sin(x) -\cos\left(x+\frac{π}{2}\right)=\cos\left(x+\frac{π}{2}-π\right)=\cos\left(x-\frac{π}{2}\right)=\cos\left(-x+\frac{π}{2}\right)=\cos\left(-x+\frac{π}{2}\right)=\cos\left(\frac{π}{2}-x \right) }$$

（２）_３

• $${f(x)=x-\sin(x)}$$とすると$${f'(x)=1-\cos(x) -1≦\cos(x)≦1}$$だから、$${f'(x)>0}$$よって$${f(x)}$$単調増加なので、$${x>0}$$のとき$${f(x)>0}$$だから、$${x>\sin(x)}$$。

• $${\sin(-x)=-\sin(x)}$$だから、$${\sin}$$の中が負なら全体が負。

問４５

【解答１】

• $${ A+B+C=π⇔A+B=π-C }$$。

• $${\displaystyle \cos\left( \frac{π-C}{2} \right)=\cos\left( \frac{π}{2}-\frac{C}{2} \right)=\cos\left( \frac{C}{2}-\frac{π}{2}\right)=\sin\left( \frac{C}{2} \right) }$$

• $${\displaystyle \cos(C)=1-2\sin\left( \frac{C}{2} \right) }$$、倍角の公式

• $${\displaystyle \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)=-2\sin\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{-B}{2}\right)=2\sin\left(\frac{A}{2}\right)\sin\left(\frac{B}{2}\right)}$$

問４６

（１）

• $${\rm{△ABC}}$$は、辺の長さが$${1:2:\sqrt{3}}$$だから、直角三角形。

• $${\displaystyle \frac{\rm{CQ}}{\sinθ}=\frac{\rm{AC}}{\sin(\rm{∠AQC})}、\rm{AC}=\sqrt{3}、\rm{∠AQC}}$$は$${\rm{△PQR}}$$が正三角形だから$${60°}$$。

• $${\displaystyle \rm{∠RAB}=\frac{π}{2-θ}、∠ABR=π-∠ARB-∠RAB、}$$
  $${\displaystyle \rm{∠CBR=π-∠ABC-∠ARB=\frac{π}{2-θ} }}$$。

（２）

• $${\displaystyle \sinα=\frac{2\sqrt{7}}{7} }$$は、$${\displaystyle \sin\left( \frac{π}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} }$$より大きいから、$${α}$$は$${\displaystyle \frac{π}{4}}$$より大きい。

問４７

（２）

$${\displaystyle \log_{10}\left( \frac{1}{30} \right) =-\log_{10}30=-\{\log_{10}10+\log_{10}3\}=-\{1+\log_{10}3\} }$$

問４８

• $${\displaystyle 3^{\log_32} }$$で底$${3}$$の対数をとると$${ \log_33^{\log_32} =\log_32・\log_33=\log_32・1=\log_32 }$$よって、$${ 3^{\log_32}=2 }$$。

• $${ 192=2^{56}、224=2^{57} }$$

問４９

（４）

• $${ \displaystyle \frac{2^{126}+6}{7} > \frac{2^{126}+6}{8} =2^{123}+\frac{3}{4} >2^{123}  }$$

• $${ 3・2^{124} > 6=3・2 }$$だから、$${3・2^{124}-6>0}$$なので、$${(4・2^{124}+6)<(4・2^{124}+6)+(3・2^{124}-6)、(4・2^{124}+6)+(3・2^{124}-6)=7・2^{124} }$$