Quant College レクチャーシリーズ（９）計算演習確率解析（ブラウン運動編その１）

2021年12月13日 20:52

はじめに

概要：
確率解析の基本的な計算問題と丁寧な解答をまとめたもの。
第一弾は「ブラウン運動編その１」として、ブラウン運動の定義に従い基本的な計算ができるようになることを目標とする。
当note本編はLaTeXで作成したpdfファイル(全56ページ)。

当noteリリースの背景：
確率解析はファイナンス分野をはじめ多くの応用がなされており、良質な日本語テキストも多い。しかしそのほとんどは数学としての理論を学ぶものであり、確率解析を道具として使うだけのエンドユーザーにとっては抽象的すぎる内容が多い。また、応用上必要となる計算力、式展開の理解力を養うことは読者任せになっている。既存の和書の演習問題は多くが

・抽象的な命題の証明などで難しすぎる
・問題の解答が無い
・解答が「自明」の一言で済まされている
・解答に式展開の説明が丁寧に書かれていない

といった状況で、初学者の自習にはハードルが高い。洋書には応用者目線で書かれたテキストや演習書も探せばあるものの、習熟していない分野を英語で学ぶことは多くの人にとって効率的ではない。

そこで当noteでは：
独力で応用上必要な計算ができるようになることを目標に、高度な数学的論証を必要としない計算問題を集め、可能な限り丁寧な解答とともに日本語でまとめた。これにより、エンドユーザーにとって必要なレベルの計算演習を効率的に行えるはずである。なお当noteはシリーズ記事の第一弾であり、伊藤の公式に進むうえで必要最低限の内容を扱う。続編として「伊藤の公式編」「測度変換編」などを予定している。

当noteの特徴：
・難しすぎる問題は排除し、手を動かせば解けるような問題に限定した。
・問題を解くのに必要な最低限の基本事項を序盤でまとめた。
・解答の冒頭で、解答する際の方針を明示するようにした。
・式展開はできる限り省略せず（冗長さを許容し）行間がないよう努めた。
・どの等号でどの性質を使ったかについて、可能な限り明示した。
・例題8問、問10問、演習問題23問を詳しい解答とともに掲載した。
・以下の順で配置し、無理なく学べるよう工夫した。
　例題 → 例題の解答
　→ ヒントありの問 → 問の解答
　→ ヒントなしの演習問題 → 演習問題の解答

当noteの著者について：
・クオンツとして新卒入社後、デリバティブ評価関連の実務に長年従事
・評価モデルの調査、ロジック開発、ライブラリ実装の実務を経験
・自身の運営するサイトQuantCollegeでは、金融工学・デリバティブに関する記事を多数執筆

当noteは以下のような方におすすめ：
・確率解析に出てくる具体的な計算に習熟したい方
・数理ファイナンス等で必要な確率解析の計算力をつけたい方
・手を動かす反復練習により、確率解析の計算を体で（手で）覚えたい方
・洋書の問題集を読むのはしんどいので、日本語で効率的に学びたい方

当noteで前提とする知識：
・学部一年レベルの初等的な確率の知識（期待値、分散、正規分布など）
・（必須ではないが）ブラウン運動やマルチンゲールの基本を少しでも学んだことがあると読み進めやすい

当noteを読んで得られるメリット：
・ブラウン運動に関する基本的な計算に習熟できる
・数理ファイナンス等への応用上必要な計算力が身につく
・難解すぎる問題に振り回されて挫折するのを回避できる
・慣れない洋書を読むのに苦戦する時間を節約できる

当noteに書いていない内容：
・確率解析の数学的な理論（定理やその証明など）
・伊藤積分や伊藤の公式に関する問題・解答（続編での取り扱いを予定）
・測度変換に関する問題・解答（続編での取り扱いを予定）
・ブラウン運動のFirst Hitting Time, Reflection Principleなど若干難しめの問題・解答（場合によっては続編で取り扱う可能性あり）

当noteに関する注意点：
厳密な論証が必要な箇所についても、簡単のために議論を大幅に簡略化している点には注意されたい。確率解析の厳密な理論を学びたい読者は数学書（和書であれば舟木「確率微分方程式」岩波書店(2005)など）を参照のこと。

ディスクレーマー：
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当noteの構成：
当noteの構成は次の通りである。
1章で記号の定義を行う。
2章では当noteで必要となる最低限の基本事項をまとめる。
3章以降が本編である。
3章は例題と解答及び関連する問（ヒントありの練習問題）、4章に問の解答、5章で演習問題、6章に演習問題の解答を掲載した。学習しやすさを考慮し、4章と6章では解答の前に問題を再掲している。