PieceCHECK(2023-71) 2016年 京都大 素数となる条件

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【NEW！】数III「微分法１」「微分法２」リリース！(23/10/24)

拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅲ～微分法１～』
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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は、2016年の京都大から、素数になるための条件に関する整数問題です。

思考時間は約15分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

詳細はこちらのリンクをご覧ください。
※PCだと画像が見えない現象あり。スマホ推奨

京都大学 理系 | 2016年大学入試数学

非常にシンプルな見た目で、かつ創作問題なので、出題当時はほぼ完全に初見状態の人がほとんどだったでしょう。難しかったと思います。ｐ，ｑも素数であることから、片方が２であることにさえ気づけば、大きく前進したと思います。そこが分かれ目でしょう。

誰もが見たことのないであろう整数問題は、とにかく実験をすることです。いかに厭わずに、戸惑ったり考え込んだりする前に手を動かせるかがカギになります。

整数問題では多少の調査は覚悟する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 』数学A～整数～』p.15

片方が2だと分かれば、$${2^q+q^2}$$が素数になるようになる条件です。そこでまた実験すれば、3で割った余りに着目するといいと分かります。
あとは以下の原則に従うだけですね。

多項式側は●で割った余りで分類

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 』数学A～整数～』p.15

$${\bm{●^n}}$$の余りは周期を見つけて調査

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 』数学A～整数～』p.77

また、平方数は余りの種類が減るという原則も使えます。

$${\bm {n^2}}$$は$${\bm n}$$ よりも余りの種類は減る

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.76

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

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解答

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