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PieceCHECK(2023-75) 2023年 東京大(文系) 2次方程式の解の対称式

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【お知らせ】数III「積分法(数式編)」リリース!(23/11/13)


今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は、2023年の東京大から、2次方程式の解の式の最小値を求める問題です。

思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約10分です。

解説・原則など

東大で出題されたがために格下扱いされた感がありますが、本問は十分良問で、他大で出れば差がつく問題でしょう。4分野にわたる5つの原則も確認でき、演習価値も高いです。

最初の解法については、こちらをご覧ください。
(※PCだと画像見えない現象あり。スマホ推奨)

解の対称式といえば解と係数の関係ですね。

解と係数の関係の利用で基本対称式を準備

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ~複素数と方程式~』p.12

あとは通分して慎重に計算するだけです。出来た式は分母が1次式、分子が2次式なので相加・相乗の出番ですね。

相加平均・相乗平均が使えるパターンは2次式/1次式のとき

その他のパターンは拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ~式と証明~』p.59 など

分数式は帯分数表記という超根本の原則も忘れずに。

分数式は「帯分数表記」にせよ

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ~式と証明~』p.18 など

部分的別解として、$${\alpha ^4+\beta ^4}$$など高次の対称式を漸化式的に出す方法です。さらに次数が上がった場合は有効なのでおさえておきましょう。

次数の高い対称式は漸化式利用で数列的に

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ~数と式~』p.66

Pの式が出た後の最小値の求め方にも別解があります。
定数Pの入ったkについての2次方程式の実数解条件に持ち込む
というものです。少なくとも1つがk>2範囲にあればOK。「少なくとも」系はメンドウですが、このようなときは定数分離して視覚化を考えてみるんでしたね。

少なくとも1つの実数解タイプ→定数分離して視覚化も

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ~2次関数~』p.111


1.解けた人
・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

2.解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

3.解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

解答

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