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生写真コンプリート確率を求めてみた

無作(むさ)

はじめに

生写真ってありますよね、アイドルとかがよく販売してるやつ。
今回はその生写真をnセット購入したときコンプリートする確率を求めました。高校数学の組み合わせ・確率の知識を前提にしています。指摘や質問等ありましたらコメント欄・Twitterで教えてくださると助かります。
ちなみにサイン入りの確率については触れていません。それ目当てで開いた人はゴメンネ。人(_ _*)





具体例

いきなり一般について考えるのは大変なので、まずは↓の "超ときめき♡パープル ジュリア生誕祭記念生写真" から手を付けてみることにします。

かわいい。販売サイトはこちら


問題文

求めたい確率の条件は以下の4つです。

  • 全部で$${20}$$種類

  • $${1}$$セットあたり$${5}$$枚

  • $${1}$$セットの中に同じ生写真は入らない

  • 出現率は全種類等しいと仮定



導出

※ちゃんとした証明はせず、ざっくりした説明だけします。

漸化式を使います。受験数学だと確率漸化式と呼ばれたり。
$${n}$$セット購入したとき$${k (k = 1, 2, \ldots , 20)}$$種類そろう確率を$${p_{n,k}}$$とします.

$${n=1}$$のとき絶対に5枚とも被らないので$${p_{1,5}=1}$$.  ($${k \neq 5}$$では$${p_{1,k}=0}$$)

$${n=2}$$のとき
$${p_{2,5}}$$は$${n=1}$$の時点で5種類出て, $${n=2}$$で0種類新しい生写真が出る確率, つまり5枚とも既出の生写真の確率なので

$$
\begin{align*}
p_{2,5} &= p_{1,5} \cdot \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18} \cdot \frac{2}{17} \cdot \frac{1}{16} \\
&= p_{1,5} \cdot {}_5 \mathrm{C}_0 \cdot \frac{{}_5 \mathrm{P}_5}{{}_{20} \mathrm{P}_5}
\end{align*}
$$

$${p_{2,6}}$$は$${n=1}$$の時点で5種類出て, $${n=2}$$で1種類新しい生写真が出る確率, つまり4枚既出, 1枚新規の確率なので

$$
\begin{align*}
p_{2,6} &= p_{1,5} \cdot {}_5 \mathrm{C}_1 \cdot \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18} \cdot \frac{2}{17} \cdot \frac{15}{16} \\
&= p_{1,5} \cdot {}_5 \mathrm{C}_1 \cdot \frac{{}_5 \mathrm{P}_4 \cdot {}_{15} \mathrm{P}_1}{{}_{20} \mathrm{P}_5}
\end{align*}
$$

$${p_{2,7}, p_{2,8}, p_{2,9}, p_{2,10}}$$についても同様に求められます。

$${n=3}$$のとき
代表して$${p_{3,6}}$$について考えます.
3セット目で6種類そろっているのは$${n=2}$$の時点で6種類出て, $${n=3}$$で0種類新しい生写真が出るとき. そして$${n=2}$$の時点で5種類出て, $${n=3}$$で1種類新しい生写真が出るとき.
この2事象は排反なので, $${p_{3,6}}$$は次のようになります.

$$
\begin{align*}
p_{3,6} &= p_{2,6} \cdot {}_5 \mathrm{C}_0 \cdot \frac{6}{20} \cdot \frac{5}{19} \cdot \frac{4}{18} \cdot \frac{3}{17} \cdot \frac{2}{16} + p_{2,5} \cdot {}_5 \mathrm{C}_1 \cdot \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18} \cdot \frac{2}{17} \cdot \frac{15}{16} \\
&=p_{2,6} \cdot {}_5 \mathrm{C}_0 \cdot \frac{{}_6 \mathrm{P}_5}{{}_{20} \mathrm{P}_5} + p_{2,5} \cdot {}_5 \mathrm{C}_1 \cdot \frac{{}_5 \mathrm{P}_4 \cdot {}_{15} \mathrm{P}_1}{{}_{20} \mathrm{P}_5}
\end{align*}
$$

このようにして$${n \leq 2}$$のとき$${p_{n,k}}$$は次のようになることがわかります. 

$$
\begin{align*}
p_{n,k} &= \sum_{l = 0}^5 p_{n-1,k-l} \cdot {}_{5} \mathrm{C}_{l} \cdot \frac{{}_{k-l} \mathrm{P}_{5-l} \cdot {}_{20-(k-l)} \mathrm{P}_{l}}{{}_{20} \mathrm{P}_{5}}
\end{align*}
$$


答え

以上をまとめると$${p_{n,k}}$$は次のようになります.

$$
\begin{align*}
p_{n,k} = 
\begin{dcases}
\sum_{l = 0}^5 p_{n-1,k-l} \cdot {}_{5} \mathrm{C}_{l} \cdot \frac{{}_{k-l} \mathrm{P}_{5-l} \cdot {}_{20-(k-l)} \mathrm{P}_{l}}{{}_{20} \mathrm{P}_{5}} & (2 \leq n, 5 \leq k \leq 20) \\
1 & (n=1, k=5) \\
0 & (\text{それ以外})
\end{dcases}
\end{align*}
$$

この中でも特に$${p_{n,20}}$$は$${n}$$セット購入したときコンプリートする確率であり, 以下のようになります. 

$$
\begin{align*}
p_{n,20} = 
\begin{dcases}
\sum_{l = 0}^5 p_{n-1,20-l} \cdot {}_{5} \mathrm{C}_{l} \cdot \frac{{}_{20-l} \mathrm{P}_{5-l} \cdot {}_{l} \mathrm{P}_{l}}{{}_{20} \mathrm{P}_{5}} & (4 \leq n) \\
0 & (n \leq 3)
\end{dcases}
\end{align*}
$$



一般化

一般化したものも置いておきます。

  • 全部で$${r}$$種類

  • 1セットあたり$${m}$$枚

  • 1セットの中身は被らない

  • 出現率は全種類等しいと仮定

$${n}$$セット購入したときに$${k (k = 1, 2, \ldots , r)}$$種類そろう確率を$${p_{n,k}}$$とする. このとき$${p_{n,k}}$$は次のようになる.

$$
\begin{align*}
p_{n,k} = 
\begin{dcases}
\sum_{l = 0}^m p_{n-1,k-l} \cdot {}_{m} \mathrm{C}_{l} \cdot \frac{{}_{k-l} \mathrm{P}_{m-l} \cdot {}_{r-(k-l)} \mathrm{P}_{l}}{{}_{r} \mathrm{P}_{m}} & (2 \leq n, m \leq k \leq r) \\
1 & (n=1, k= m) \\
0 & (\text{それ以外})
\end{dcases}
\end{align*}
$$

この中でも特に$${p_{n,r}}$$は$${n}$$セット購入したときコンプリートする確率であり, 以下のようになる. 

$$
\begin{align*}
p_{n,r} = 
\begin{dcases}
\sum_{l = 0}^m p_{n-1,r-l} \cdot {}_{m} \mathrm{C}_{l} \cdot \frac{{}_{r-l} \mathrm{P}_{m-l} \cdot {}_{l} \mathrm{P}_{l}}{{}_{r} \mathrm{P}_{m}} & (\left \lceil \frac{r}{m} \right \rceil \leq n) \\
0 & (n \leq \left \lceil \frac{r}{m} \right \rceil - 1)
\end{dcases}
\end{align*}
$$



おわりに

え？漸化式を解いてないから厳密には確率を求めたことにならないのではって？
それはそうかも。まあ機械に計算させるつもりなので漸化式を解く理由もないのでお許しを…

今回は漸化式を立てるところで力尽きてしまいました。ぶっちゃけ漸化式だけ見せられても具体的な数値なんてわかんないので、いつか$${m,r}$$を入力したとき確率値を計算して出力するツールとか作りたいですね。というか誰か作ってください(他力本願)。(※) あと期待値とか求めたい。確率dpとか期待値dpとか勉強すればいける？
繰り返しになりますが指摘や質問お気軽にどうぞ！それともし既出だったら教えてくださると助かります。

※2023/12/23追記
ブラウザで動く計算ツールを牛タン抹茶さんが作成してくださいました。ありがとうございます！
Probability Calculator(https://tokiyui.github.io/RawPhoto/)



話は変わりますが2024年1月27日(土)・28日(日)に超ときめき♡宣伝部が横浜アリーナでワンマンライブをするので全人類来てください！！！！！

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