不定方程式②：オモワカ整数＃14(全21回)

整数シリーズ第14回目
オモワカ＝面白いほどわかる
整数が面白いほどよくわかります
第14回から見てもOKですが、ぜひ第１回目からどうぞ！！　→→　１回目（倍数の判定）

問題１

解説

まずは絞り込みやすいように積の形に

差の式を作ることにより、積になる二つの大小を決める

積が-3になり、大小関係からリストができます。

答えは(x,y) = (7,2) (5,2)

問題２：積の形を作る

解説

たすきがけを用いて部分的に積の形にする。

XとYに置き換える

X＋Yをすることでyを消す

このように式を置き換えることができる

積の形に持っていくことができた

XとYを戻す

積の形に
左辺の左の3x+y+4が正で、右辺も正なので、左辺の右も正である
さらに、２式を足すと偶数となることがわかる

足すと偶数でかけても偶数になるのは、2式が偶数であるとき。

以上から条件がまとまり、リストが出来上がりました

答え：(x,y) = (1,3) (3,17)

問題３：2乗が正であることを利用する

（１）解説

x の範囲をまず求める

○の２乗が０以上であることを利用するとyの範囲が決まる

答え：(x,y) = (1,2)

（１）別解

整数は和の形では進まない。例えば、a+b=3 という式のaとbをリストアップするときに、何も条件がないとリストが多すぎる

和の形でもaもbも両方正だと分かっていれば絞り込める。

この問題も両方正であるので絞り込める

整数の２乗であることからも絞り込める

このようにして2乗の和を作るというのも一つの解法

（２）解説

2乗が正であるということを利用する
平方完成する
これによりyの範囲が決まる

答え：(x,y) = (3,0) (-3,0)

問題４：①整数解をαとβとおくパターン

解説

整数解の問題は、3パターンの解法あり
整数解をαとβとおき、解と係数の関係を使う（大小関係も決めておく）

文字を減らして、積の形に持っていけるようになった。

そこからリストアップして、求める
答え　n=1,-3

問題５：②判別式が０以上であることを利用するパターン

解説

整数解を実数解と考える。
整数解をαとβとおくと計算がめんどくさい問題なので違う解法で行います。
実数解の中に整数解がある。
整数解を持つということは実数解を持つということ。
なので判別式が0以上となることを利用

nの範囲がでた

しらみつぶしに書いていこう

√のなかが平方数になるもののみ選ぶと

答え：n = -6 , -4 , 0 , 2

別解：③判別式の中が平方数になることを利用するパターン

√のなかが平方数になるということを利用

平方完成をする
２乗の和を作って範囲を定める。

答え：n = 2 , -6 , 0 , -4

なぜ3パターンあるかというと、一長一短あるのです。

問題6

解説

②の判別式が０以上であることを利用して問題を解くと、範囲が定まらないので、違う方法が必要

③の方法である判別式が平方数になることを利用するとできるのです。

2乗の和の式を作る
大小を決める

答え；n = 1 , -3

問題7

解説

α、βとおくのは使えない。２つとも整数解でないと使えない

とりあえず解の公式を使う
判別式を用いて範囲を定める

√のなかが平方数になっているものを選ぶ

xが整数になるために、分母が消えるように定める。

答え：a = 3 , 4 , 5

解説別解

判別式が平方数になることを利用

リストアップした後は、解の公式が割り切れるものを選ぶ

不定方程式まだ続きます！！

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