積み木どこまで積めるかな？

大人気YouTuberのQuiz Knockの
「東大頭脳なら1時間で自由研究が終わる!」
という動画をみていただきたい。そのうち1つの研究がある。簡単に説明すると

「同じ積み木を水平方向にずらしながら積み上げていき、水平方向にどこまでいくのか🤔？」

という内容である。

噂によるとどこかの大学入試の物理の問題が出たとかでなかったとか。

本当に入試で出てきて解けるのか？想像すると恐ろしいですね😱。

40分かけて解きました😅。本来の試験なら時間が足りてないけど。

神戸大学の入試のように自分で文字を設定して解いていくの難しい(笑)。

積み木の長辺を1として考えていこう。

重力によって上の積み木が下の積み木へ影響を及ぼすので、積み上げるといっても上ではなく、下に増やしていくと上手くいく。(筆者はこの発想に10分費やした)

積み木の段を増やしていくと青い線がだんだん短くなっていきそうだ。

n+1段の時を考えよう。このときの重心は1のところにあれば物体は倒れない。n+1段目の積み木と上のn個の段の積み木の重さの比は1:nである。

このときの重心gnは1/2と1を(n+1):1に外分する点であるため

gn=1+1/2n　

gn+1-gn=1/2n より、下に(n+1)個目の積み木を積むと水平方向へ1/2nだけ進むことがわかった。

n段積んだときの最上段の右端のxをanとして

a1=1　an+1=1+1/2+...+1/2n(n≧1)

anの極限を考えよう。実はこの値は面積、積分を活用しておよその値を評価することができる。

他にもこの解き方はnが1から400までのΣ1/√nの整数部分を答えよなどの問題で用いるので覚えておこう。

実はこれの値は無限大に発散する。

訂正　ちなみに積分区間は1～n-1でした😭。結果に影響はしなさそうだが減点😰。

①これは積み木を下に積む発想
②重心の位置の漸化式に気づくか
③外分点の求め方
④値の範囲を絞る方法
⑤直感と反する答え

これは本当に難しい。
二次試験とはいえ時間が十分あるかはわからない。
物理で悩んでたら、化学or生物の時間がなくなるだけだ。
入試で解けそうになかったら捨ててもよいかもしれない。