流体力学　シュワルツ・クリストッフェルの定理（その2）

　皆様おはこんばんちは。
 
　最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
　第53回目は，「シュワルツ・クリストッフェルの定理（その2）」について紹介したいと思います。前回，投稿した「シュワルツ・クリストッフェルの定理」の続きとなりますので，気になる方は以前の投稿記事もご確認ください。

（1）定理を使うときの注意事項1

　さて，前回はシュバルツ・クリストッフェルの定理（以下，SCの変換式）を紹介しました。結論として，何をする定理なのかを振り返ると，「円以外のn辺多角形でもz平面からζ平面に変換が可能になる」ものでした。
　最近だと，この解説をしているnoteの投稿やpythonのプログラムを公開している人がいて驚きでした。
　この定理を使って，n辺多角形の問題を解くことが出来るようになった訳です。しかし，問題を解くときに注意しなければならないことが2つあります。今回は，これを紹介していきます。
 

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　まず，SCの変換式を使うときの注意事項1は，「頂点ζ1，ζ2，ζ3，…に対するx1，x2，x3，…の値に関しては，3つは自由に選ぶことができる」です。

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　上記について，図形を使って説明します。n多角形に相似なn多角形を作る場合，各辺に平行な直線を引くことはできますが，角度が同じものでなければ相似な図形は得られません。角度が不明な（与えることができない）場合は，相似条件の1つである「3組の辺の長さの比が等しい」ことが成立すればよいのです。そのときは，（n-3）個の辺の長さの比の値を知らなければなりません。図1のように，3角形，4角形，5角形，6角形の辺の比を考えてみましょう。

図1　ｎ多角形の辺の長さの比の値について

　図1の3角形を見ると，n=3となるので（n-3）= （3 - 3）＝ 0個となり，0個の辺の長さの比の値となります。これは，角度によって相似な3角形（直角三角形，直角二等辺三角形）が決定するため，辺の長さだけでは決まらないことを示しています。
　続いて，図1の4角形を見ると，n=4となるので（n-3）= （4 - 3）＝ 1個となり，1個の辺の長さの比の値となります。これは，相似な4角形（平行四辺形，菱形，長方形，正方形，台形など）は「2辺の辺の比が等しく，その間の角が等しい」ことで決定できるため，2つの辺の比，つまり1個の辺の比の値が分かればよいことになります。
　図1の5角形，6角形も同様に計算すると，辺の比の値は2個，3個決まればよいことになります。これが，辺の長さの比の値が（n-3）個になる理由です。
　したがって，自由に選ぶことのできる量（今回の場合は，x1，x2，x3,…に該当）の数は，「3個」となります。
　これが，SCの変換式を使うときの注意事項1の説明です。
 

（2）定理を使うときの注意事項2

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　次に，SCの変換式を使うときの注意事項2は，「頂点ζ1，ζ2，ζ3，…に対するx1，x2，x3，…のうち，xi=±∞をとるとき，SCの変換式（1）

の右辺（z-xi）^（αi / π）-1の項は除く」です。

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　では，なぜ最後の項を除いてもいいかを証明しましょう。ここで，SCの変換式（1）の対数を取ると，式（2）のようになります。

　そこで，式（2）の両辺をzについて微分すると，式（3）のようになります。

 　式（3）の結果から，右辺の最終項にxi=±∞の極限を考えると，式（4）のようになります。

　式（4）の結果から，式（2）の最終項に代入すると，式（5）のような結果が得られます。

　式（5）の結果から，式（5）を積分すると，（z-xi）^（αi / π）-1の値は定数（= const.）と見なせるため，SCの変換式からが除くのが良いことになります。

（3）まとめ

 今回の記事のまとめを以下に示します。
①     SCの変換式の注意事項は2つある。
②     SCの変換式の注意事項1は，頂点ζ1，ζ2，ζ3，…に対するx1，x2，x3，…の値に関しては，3つは自由に選ぶことができる。
③     SCの変換式の注意事項2は，SCの変換式（1）の右辺（z-xi）^（αi / π）-1の項は除くことが望ましい。

　以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。
　次回は，「シュワルツ・クリストフェルの定理（その3）」について，解説する予定です。