流体力学　等角写像（例題編）

　皆様おはこんばんちは。
 
　最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
　第48回目は，「等角写像」について紹介していきます。なお，等角写像は理論編と例題編として連載記事となっておりますので，以前の記事もご覧ください。

（１）等角写像（その1）

　まず，「等角写像」の1つ目の例題に触れましょう。

【例題1】
　ｚ平面において原点を中心とする半径aの円を次に示す関数（式（1））によって，ζ平面に写像すること。

図1　z平面とζ平面（原点中心とする半径aの円）

　z平面は，複素数の極座標系を考えるために円周上の任意の点を式（2）で表します。

　よって，式（2）を式（1）へ代入すると，式（3）が得られます。

　したがって，z平面からζ平面に写像した結果が式（3）となるわけです。別の平面に写像した与式は何も関係なさそうですが，実はそうではないのです。もし，z平面がθ=0，πの場合，ζ平面ではξ=2a，－2aでかつη=0となります。つまり，z平面でz点が円周をθ=0～2πまで1周すると，ζ平面ではξ=2a～－2aまでを端として線分を1周することになります（図1）。

（２）等角写像（その2）

　次に，「等角写像」の2つ目の例題に触れましょう。

【例題2】
　ｚ平面においてy軸上の点M（y=f）を中心とし，x軸上でx=±aを通る円は，次に示す関数（式（4））によってζ平面に写像すること。

図2　z平面とζ平面（y軸上の点M（y=f）を中心とする半径aの円）

　ここで例題1の結果を思い出すと，z平面で半径aの円は，ζ平面で長さ4aの直線に写像されます。この考え方を利用すると，例題2はz平面で（x軸上）x=±aの点は，ζ平面でζ=±2aに対応します。よって，z平面の円周上の点zをζ平面に写像した点をζとしたとき，式（5）のように考えることとします。

　ここでz平面のzと±aを結ぶ線分をそれぞれr1，r2とし，x軸とのなす角をθ1，θ2とします。また，ζ平面もζと±2aを結ぶ線分をそれぞれR1，R2とし，ζ軸とのなす角をΘ1，Θ2とすると，式（6）および式（7）のように記述できます。

　したがって，式（6）と式（7）の結果を等式として考えると，式（8）のように記述できます。

　この結果から，z平面で点zが円を1周すると，対応する点ζはζ平面でζ=±2aを通り，Θ1－Θ2=－2θとなる円弧として1周します。なお，z平面の円（点ｚ）とy軸（＋側）との交点はζ平面の円（点ζ）とη軸（＋側）との交点に対応するため（図2参照），ζ円弧のそりの高さを求めると，式（9）のように表せます。

　ちなみに赤色の下線部については，変換が難しい部分であるために展開した結果を以下に示します。

（3）等角写像（その3）

　最後に，「等角写像」の3つ目の例題に触れましょう。

【例題3】
　ｚ平面において原点近くの点M（x，yいずれの軸上にもない）を中心とする円は，次に示す関数によってζ平面に写像すること。但し，円とx軸の正の部分はx=aで交わるとする。

図3　z平面とζ平面（x，yいずれの軸上にもない原点近くの点Mを中心とする半径aの円）

　z平面の円周上に点zと，Ozとｘ軸とのなす角θに等しくなるようにx軸に対してOzと反対側にOz’を引くと（図3参照），式（10）のように表せます。

　よって，z’を考えると式（11）のように表せます。

　これにより，z平面に対応するζ平面の式は式（12）のように表せます。

　結果として，OzとOz’との合ベクトルOPを示す点Pは点zも対応する点ζで翼形に形成する点となります。
　そして，このζ平面の写像に使う式（12）（式（1）や式（4）も同様）は，「ジューコフスキー変換」といい，図3に示したような翼形を「ジューコフスキー翼」と呼びます。そして，勘のいい方は何となく察していると思いますが，円の中心Mの位置によってジューコフスキー翼は様々な形が得られるそうです。

　次回は，このジューコフスキー変換と翼をもう少し深堀りしていきましょう。

（4）まとめ

　今回の記事のまとめを以下に示します。
（１）ｚ平面で原点を中心とする半径aの円を変換すると，ζ平面で長さ4aの直線に写像する。
（２）ｚ平面でy軸上の点Mとする半径aの円を変換すると，ζ平面で円弧（そりの高さζ0=2f）に写像する。
（３）ｚ平面で原点近くの点M（x，yいずれの軸上にもない）を中心とする半径aの円を変換すると，ζ平面でジューコフスキー翼に写像する。

　以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。
　次回は，「ジューコフスキー変換・翼」について，解説する予定です。