流体力学　一様流れと2重わき出しのグラフ

　皆様おはこんばんちは。そして，お疲れ様です。

　最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
　第２４回目は，第２３回目で予告した通り，「一様流れと2重わき出しのグラフ」について紹介していきます。久々にグラフ化にここまで苦労するとは…。

（１）円柱回りの流れの復習

　 では，以前の記事で「一様流れと2重わき出しの合成」を行うと，そこで得られる２次元流れは，「円柱回りの流れ」でした。その概略図を図1に示します。

図１　一様流れと2重わき出しの合成の概略図

　今回は，予告通りグラフを描画していきます。今回も注目するのは，流れ関数となります。そして，「一様流れと2重わき出しの合成」や「円柱回りの流れ」が分からない方は以前の記事を確認してみて下さい。

（２）円柱回りの流れのグラフ化

（２―１）事前準備

　それでは，グラフ化していく前に一様流れと2重わき出しの合成の流れ関数を確認いきましょう。一様流れと2重わき出しの合成の流れ関数は式（1）のように表せます。

　また，グラフ化するに当たって仮定を設定する必要があります。以下に仮定を示します。

【仮定】2重わき出しの強さm=15[cm^2/s]，一様流れの速度U=2[cm/s]

　それでは，早速，上記の仮定を使ってグラフ化していましょう。

（２―２）一様流れのグラフ化

　式（１）に注目すると，右辺の第１項が一様流れを示していることが分かります。よって，式（２）を使えば，一様流れのグラフ化が可能になります。

　式（２）を使えば，表２-1のように表せます。なお，本グラフ化に際して，流れ関数ψは任意の値を設定できるため，ψ=－5～5（１刻み）で計算をしています。

表2-1　一様流れの計算結果

　よって，この計算結果を基にグラフを描画すると，図2-1のように表せます。但し，今後の計算をするうえで便宜上，ψ=－8～8（１刻み）までを描画しています。

図2-2　一様流れ

　それでは，一様流れの次に2重わき出しのグラフを描画していきましょう。

（２―３）２重わき出しのグラフ化

　一様流れの同様に，式（１）に注目すると，右辺の第２項が２重わき出しを示していることが分かります。よって，式（３）を使えば，２重わき出しのグラフ化が可能になります。

　同様に式（３）を使えば，表2-2のように表せます。なお，本グラフ化に際して，流れ関数ψは任意の値を設定できるため，ψ=－5～5（１刻み）で計算をしています。表2-2から分かるようにψ=0（ゼロ）の場合は計算不能になるため，今後の計算およびグラフの描画からは省略します。
　また，２重わき出しの描画するときは「円」となります。したがって，xとyの値は極座標変換をしたうえで，表2-3のように極座標変化した計算を行って，グラフ描画します。

表2-2　２重わき出しの計算結果

表2-3　２重わき出しの極座標変換

　よって，この計算結果を基にグラフを描画すると，図2-2のように表せます。

図2-2（a）　２重わき出し（一様流れの描画あり）

図2-2（b）　２重わき出し（一様流れの描画なし）

　但し，２重わき出しのグラフを描画するときには注意があります。その注意点は以前の記事で開設してますので，以下の記事を確認してみて下さい。

　それでは，次に円柱をグラフ化してみましょう。

（２―４）円柱のグラフ化

　次は，流線ψ=0の場合に式（１）に注目すると，式（４）のようになり，円柱のグラフ化が可能になります。

　式（４）を使えば，表２-4のように表せます。なお，流れ関数ψの値は参考であり，式（４）の結果とは関係ありません。但し，２重わき出しと同様に円の描画となるため，表2-5のように極座標に変換する必要があります。

表2-4　円柱の計算結果

表2-5　円柱の極座標変換

　よって，この計算結果を基にグラフを描画するのは，次項の一様流れと２重わき出しの合成で表します。それでは，次に一様流れと２重わき出しの交点をグラフ化してみましょう。

（２－５）一様流れと２重わき出しの交点

　前項でグラフ化した一様流れと２重わき出しの合成をグラフにしていきます。図2-2（a）に示すように「一様流れと２重わき出しの交点」を繋いでいけばいいのです。これは，「重ね合わせの原理」が使えることが前提条件です。
　そして，一様流れと２重わき出しの合成となるため，２重わき出しや円柱で描くときに必要な極座標が必須となります。そのため，xとyの値をそれぞれ任意に設定する必要があります。そこでまずは，xの値を求めるために一様流れと２重わき出しの流れ関数の式から式（５）のように式変形します。

　ここで，半径r0と一様流れの速度Uは既に分かっています。また，流線ψ(=ψ1+ψ2)は一様流れと２重わき出しの重ね合わせの原理で求めた値を代入します。今回は，ψ=－5～5（１刻み）で計算をしていきます。よって，「任意に値を設定できるにもかかわらず，不明な値はyのみ」となります。
　ポイントなるのは，yの値を設定するには「xの値がどうなっていれば都合がいいか」です。xの値がどうなっていれば考えると，一番都合がいいのは「x=0のとき」です。よって，一様流れと２重わき出しの流れ関数の式（１）にx=0を代入すると，式（６）のように表せます。

　式（６）を利用して，一様流れと２重わき出しの流線ψ=－5～5（１刻みかつψ=0は除く）で計算した結果を表2-6に示します。

表2-6　ψ=－5～5（１刻みかつψ=0は除く）を代入した式（６）の計算結果

　これより，xの値は式（５）によって算出でき，yの値は表2-6で得られた計算結果から上限値と下限値が分かっているので，それらの値を0.01刻みに設定します。今回描画するのは，一様流れと２重わき出しの流線ψ=－5～5（１刻みかつψ=0は除く）とします。そのときの計算結果を表2-7にそれぞれ示します。

表2-7（a）　一様流れと２重わき出しのxおよびyの計算結果（ψ=1，5の場合）

表2-7（b）　一様流れと２重わき出しのxおよびyの計算結果（ψ=－1，－5の場合）

　したがって，表2-7によって得られた計算結果を描画したものを図2-3に示します。

図2-3（a）　一様流れと２重わき出しの合成（一様流れと２重わき出しを含む）

図2-3（b）　一様流れと２重わき出しの合成（一様流れと２重わき出しを含まない）

　以上のように，一様流れと２重わき出し，いわゆる「円柱回りの流れのグラフ」が描画できました。

（３）まとめ

　今回の記事のまとめを以下に示します。
（１）円柱回りの流れは，2重わき出しの強さmと一様流れの速度Uがわかると描画できる。
（２）流線ψ=0の場合，円柱が描ける。
（３）一様流れと2重わき出しの交点を描くには，yの値を設定するに「xの値がどうなっていれば都合がいいか」を考慮する必要がある。

　以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。

※次回は，鏡像（きょうぞう）について扱う予定です。