何で行列の積ってあんな計算?

こんにちは，いかすみです．今回は行列の積について僕なりに納得した理解の仕方を書こうと思います．

どうぞよろしくおねがいします．

行列の積との出会い

僕の高専では線形代数で行列を勉強するときにはじめに行列の計算方法から学びます．（他の高専や，おそらく大学の線形代数もそのような順序だと思います．）

そこで行列の積を習うのですが，初めは見慣れない計算で戸惑いました．

先生は「こういうものだと思って覚えてください」と言っていたのですが．僕自身「何でそういう計算になるねん！」と心のなかで叫んだのを覚えています．

行列の積 ＝ 内積

いきなり見出しに結論を書いたのですがそういうことです(笑)．これから説明していきます．

行列とは

まず行列とは何かをwikipediaでみるとこのように書いています．

数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。

出典：wikipedia

要は縦が2，横が4の(2×4)の行列なら以下のように数字が8個並ぶわけです．

ここで，行列の味方を少し変えます．行列をベクトルが並んだものと見てみます．

すると，(2×4)の行列ならサイズが2のベクトルが4つ横に並んだものと見れるし，サイズが4のベクトルが2つ縦に並んだものとも見れます．

ここで左上の't'は転置の記号で，転置のついたベクトルは行ベクトルを表しています．

内積とは

続いて内積についてです．

内積は2つのベクトルの各成分の積の和で計算できます．例えばサイズが3のベクトルの内積は以下のとおりです．

これはサイズがnのベクトル同士でも同じです．（この形の内積を標準内積というらしいです．また，平面の内積なら余弦定理からでも導けます．）

行列の積とは

これまでの話をまとめると行列の積は行列内の各ベクトルの内積を計算していると見ることができそうです．下の式は(3 × 3)行列の積の例です．

おわりに

今回は僕が一番理解しやすかった行列の積の意味を紹介しました．

この覚え方が絶対ではないので参考程度に思ってもらえたら幸いです．

最後まで読んでいただきありがとうございました．