確率論#9

今回は期待値などの議論していく時に必要で基本的な評価式を紹介していきますね。

(1)$${p>0,X_n\in L^p(\mathbf{P})\ (n=1,2,\cdots)}$$が$${\displaystyle{\lim_{n,m\to\infty}\vert\vert X_n-X_m\vert\vert_p=0}}$$を満たすならば、$${\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\vert\vert X-X_n\vert\vert_p=0}}$$となる$${X\in L^p(\mathbf{P})}$$が存在する。
(2)$${X\in L^p(\mathbf{P})}$$ならば、$${\displaystyle{\mathbf{P}(\vert X\vert\geq\lambda)\leq\frac{1}{\lambda ^p}\mathbf{E}[\vert X\vert ^p]\ (\forall\lambda>0)}}$$が成り立つ。
(3)$${p>1}$$とし、$${q>1}$$を$${\displaystyle{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}}$$により定義する。この時、$${X\in L^p(\mathbf{P}),Y\in L^q(\mathbf{P})}$$に対して、$${XY\in L^1(\mathbf{P})}$$であり、$${\vert\vert XY\vert\vert_1\leq\vert\vert X\vert\vert_p\vert\vert Y\vert\vert_q}$$が成り立つ。
(4)$${p\geq 1,X,Y\in L^p(\mathbf{P})}$$とする。この時、$${X+Y\in L^p(\mathbf{P})}$$であり、$${\vert\vert X+Y\vert\vert_p\leq\vert\vert X\vert\vert_p+\vert\vert Y\vert\vert_p}$$が成り立つ。

(2)はチェビシェフの不等式、(3)はヘルダーの不等式、(4)はミンコフスキーの不等式と呼ばれるものです。
これらの不等式の証明は深堀回で触れますね。