確率論#3

簡単な定理を紹介します。どれも直感的に理解できるものが多いですね。(1)は測度の単調性、(2)と(3)は測度の連続性と呼ばれている性質になります。

定理1.3
(1)$${A,B\in\mathcal{F}}$$に対して$${A\subset B}$$ならば$${\mathbf{P}(B\setminus A)=\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A)}$$が成り立つ。特に$${\mathbf{P}(A)\leq\mathbf{P}(B)}$$が成り立つ。
(2)$${A_i\subset A_{i+1}}$$を満たす$${A_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\cdots)}$$に対して$${\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\lim_{i\to\infty}\mathbf{P}(A_i)}}$$
(3)$${A_i\supset A_{i+1}}$$を満たす$${A_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\cdots)}$$に対して$${\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i)=\lim_{i\to\infty}\mathbf{P}(A_i)}}$$

それぞれを証明していきます。

(1)の証明
$${A,B\in\mathcal{F}}$$に対して$${A\subset B}$$とする。
$${A\cap (B\setminus A)=\emptyset}$$であるから有限加法性と、$${A\cup (B\setminus A)=B}$$であることを用いると
$${\mathbf{P}(A\cup (B\setminus A))=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B\setminus A)\\\Leftrightarrow \mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B\setminus A)\\\therefore\mathbf{P}(B\setminus A)=\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A)}$$が得られる。
次に$${\mathbf{P}(A)\leq\mathbf{P}(B)}$$について、確率測度の定義より任意の$${X\in\mathcal{F}}$$に対して$${0\leq\mathbf{P}(X)\leq 1}$$であるので、($${X}$$を$${B\setminus A}$$と見なせば)
$${\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A)=\mathbf{P}(B\setminus A)\geq 0\\\therefore\mathbf{P}(A)\leq\mathbf{P}(B)}$$を示すことができた。

(2)の証明
$${A_i\subset A_{i+1}}$$を満たす$${A_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\cdots)}$$に対して、
$${B_1=A_1,B_i=A_i\setminus A_{i-1}(i=2,3,\cdots)}$$と定めると、$${B_i}$$は互いに素であり、$${\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i}}$$が成り立つ。
従って
$${\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\mathbf{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i)}}$$
$${=\displaystyle{\sum_{i=1}^{\infty}\mathbf{P}(B_i)}}$$
($${\because}$$確率測度の定義(2))
$${=\displaystyle{A_1+\sum_{i=2}^{\infty}\mathbf{P}(A_i\setminus A_{i-1})}}$$
($${\because B_i}$$の定め方)
$${=\displaystyle{A_1+\sum_{i=2}^{\infty}\{\mathbf{P}(A_i)-\mathbf{P}(A_{i-1})\}}}$$
($${\because}$$定義1.3の(1))
$${=\displaystyle{A_1+\lim_{n\to\infty}\sum_{i=2}^n\{\mathbf{P}(A_i)-\mathbf{P}(A_{i-1})\}}}$$
$${=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\mathbf{P}(A_n)}}$$
$${=\displaystyle{\lim_{i\to\infty}\mathbf{P}(A_i)}}$$
($${\because}$$添字を改めただけ)
となり示すことができた。

(3)の証明
$${A_i\supset A_{i+1}}$$を満たす$${A_i\in\mathcal{F}(i=1,2,\cdots)}$$に対して、
$${B_i=A_i^c(i=1,2,\cdots)}$$と定めると、$${B_i\subset B_{i+1}}$$を満たし、
$${\sigma}$$-加法族の定義(2)から$${B_i\in\mathcal{F}}$$である。よって定理1.3の(2)より、
$${\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i})=\lim_{i\to\infty}\mathbf{P}(B_i)}$$が成り立つ。
$${B_i}$$の定め方から$${A_i}$$の表現に戻すと
$${\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i^c)=\lim_{i\to\infty}\mathbf{P}(A_i^c)}}$$
$${\Leftrightarrow\displaystyle{\mathbf{P}((\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i)^c)=\lim_{i\to\infty}(1-\mathbf{P}(A_i))}}$$
$${(\because \text{de Morganの法則},\mathbf{P}(X^c)=1-\mathbf{P}(X))}$$
$${\Leftrightarrow\displaystyle{1-\mathbf{P}(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i)=1-\lim_{i\to\infty}\mathbf{P}(A_i)}}$$
$${(\because\mathbf{P}(X^c)=1-\mathbf{P}(X))}$$
$${\therefore\displaystyle{\mathbf{P}(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i)=\lim_{i\to\infty}\mathbf{P}(A_i)}}$$が得られる。

いかがでしたでしょうか？
定理1.3の(2)の$${B_i}$$の定め方は互いに素なものを作る時によく用いる方法(自分は｢ドーナツ法｣と覚えています。笑)なのでしっかりと覚えておく必要がありますね。
因みにしれっと出てきた$${\mathbf{P}(X^c)=1-\mathbf{P}(X)}$$は定理1.3の(1)において、$${A=X,B=\Omega}$$とすれば出てくる簡単なものですね。直感的にもわかりやすく、確認も容易なので大丈夫だと思います。