絶対値付関数のグラフ

対象：定期試験以上

今回は　絶対値付関数のグラフ　のお話です

絶対値の基本についてはこちら

絶対値記号の外し方は
絶対値の中が0以上のとき　→　そのままはずす
絶対値の中が負のとき　　　→　-1倍してはずす(結果として正となる)
でした

関数に絶対値が付いている場合には
絶対値記号が全体についている場合と
一部分についている場合があります

まずは　全体に絶対値が付いている場合です

準備として次を確認しましょう

$${x}$$軸より下側の部分を折り返しただけです
場合分けのところは　定義域に穴がなければどちらにイコールをつけても構いません
例えば(2)では
「$${x< 3}$$，$${3\leqq x}$$」　としていますが
「$${x\leqq 3}$$，$${3< x}$$」　でもよいですし
「$${x\leqq 3}$$，$${3\leqq x}$$」　でもよいです
ただし　「$${x < 3}$$，$${3< x}$$」　は$${x=3}$$のときに言及していませんのでNGです
次は　2次関数です

$${y=|f(x)|}$$　のように関数全体に絶対値が付いている場合には
$${x}$$軸より下側の部分を　$${x}$$軸に関して折り返してください
したがって　$${y=|f(x)|}$$のグラフは $${y<0}$$となる部分はありません
すべて$${x}$$軸より上側(または軸上)にグラフがあります
これは絶対値の性質　$${a\geqq 0}$$　が持つ性質です

1次関数の場合も2次関数の場合も　その他すべての関数での同じことが成り立ちます
さて　上の問題では　$${x}$$　の範囲によって場合分けをしています
言い換えれば　定義域によって関数が違う　ということです
したがって　$${y=|f(x)|}$$のグラフと他のグラフが交わるときには
$${y=f(x)}$$の部分と交わるのか　$${y=-f(x)}$$の部分と交わるのかに
注意する必要があります

上の例は　いずれも$${x}$$軸より下側にはみ出る部分がありましたが
もしない場合には　そのまま絶対値を外して構いません

すなわち
$${y=|(x-1)^2+4|=(x-1)^2+4}$$
のようになります

次は　関数の一部に絶対値が付いている場合です

$${y=|f(x)|}$$　の場合と異なり　単純に折り返すという操作ではできません
場合分けをして　それぞれの定義域でグラフを考えましょう

また　$${y=|f(x)|}$$　の場合と異なり　$${x}$$軸の下側にもグラフが出てくることがあります

また　共通して言えることは　関数全体に絶対値がついていても　一部に絶対値がついていても　グラフはつながる　ということは覚えておきましょう

1次関数で$${n}$$個の絶対値ある問題は　次の記事の問題(2)にあります