京都大学2019年第一問問１解説

前回の記事はこちらから

今回、扱う問題はこちら❗

三角関数と有理数・無理数の融合問題です。

問題文を読んだ限り、初手が見えにくい問題となっています。ただ、cosθが無理数が条件として目立っていて、cosθ=有理数という関係式から矛盾を導くのではないのかと想定されます。
それでは、この矛盾を導くためにcosθとcos2θ、cosθとcos3θの関係性をまとめておきます。

では、上記のまとめたことからcosθが無理数であることを活用できるのかというと難しいです。というのも、cosθ自身が2乗や3乗されていて、cosθ=有理数という式を導くことができないからです。それでは、解決できないのかというとそんなことはありません。

実はcosθ、cos2θ、cos3θの関係式が三倍角の公式の証明の中にあるのです。

sinが入っていますがこれは簡単にcosに直すことができます。
では、三倍角の公式の証明から本問の解答を紹介していきます。

途中、半角の公式を用いていますが、２倍角の親戚のようなものなのでご容赦ください。
ここから、矛盾を導き、θを求めてみます。

いかがでしょうか？
解答の本質的な部分が公式の証明にあるのは驚きですね。日頃から公式を暗記している人にはいい警鐘となったのではないでしょうか？
では、今回はここまで。よければ👍️をお願いします。

#数学しよう

#大学入試

#勉強

#京都大学