60度または120度の角度を持つ三角形の整列に向けて

ピタゴラス三角形の整列には成功しました。そこで、次はと考えたのが、60度または120度の角度を持つ三角形です。

三辺の長さを$${a,b,c}$$とすると、$${a^2-ab+b^2=c^2}$$を満たす時、cの対角は60度で、$${a^2+ab+b^2=c^2}$$を満たす時、cの対角は120度です。

後者が成立する時、実は、

$${(a+b)^2-(a+b)b+b^2=c^2}$$,
$${a^2-a(a+b)+(a+b)^2=c^2}$$

等も成立するので、
$${\{a,b,c\}(cの対角は120度)、\{a+b,b,c\}、\{a+b,a,c\}(cの対角は60度)}$$
の三つの三角形は一つのセットとして考えることとします。

基本方程式は、

$${X^2 \pm XY +Y^2= Z^2}$$

ではなく、複合がプラスの方の式に、$${x \coloneqq X+Y,y \coloneqq X-Y,z \coloneqq Z/2}$$ を用いて、

$${3x^2+y^2=z^2   　　　　　 (1)}$$

とします。

$${(1)の解(a,b,c)}$$が見つかると、
$${\{|a-b|,a+b,c\},\{|a-b|,2a,c\},\{a+b,2a,c\}}$$の三組が60度または120度の角度を持つ三角形となります。
$${a>b}$$の時は、$${\{|a-b|,a+b,c\}}$$が、$${b>a}$$の時は、$${\{|a-b|,2a,c\}}$$が、120度の角度を持つ三角形となります。

例えば、$${(1)}$$の解である、$${(x,y,z)=(4,1,7)}$$は、$${\{3,5,7\},\{3,8,7\},\{5,8,7\}}$$のセットを示すものとなります。

さて、ピタゴラス数を次々と生成させる式において、恒等式、

$${(-x-2y+2z)^2+(-2x-y+2z)^2-(-2x-2y+3z)^2=x^2+y^2-z^2}$$

が重要な役割を果たしましたが、今回の場合は、次の恒等式が使えます。

$${3(\tfrac{-3x-2y+2z}{3})^2+(\tfrac{-6x+y+2z}{3})^2-(\tfrac{-6x-2y+5z}{3})^2 =3x^2+y^2-z^2}$$

続きはまた明日。では、お休みなさい。

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