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連分数の独自メモ　～のび太算を使った評価法～

連分数とは、 $${x_0+\dfrac{y_1}{x_1+\dfrac{y_2}{x_2+\dfrac{y_3}{x_3+\dfrac{y_4}{x_4+\dfrac{y_5}{x_5+\dfrac{y_6}{x_6+\cdots}}}}}}}$$ のような形の繁分数のことで、特に、下のように、$${y_1,y_2,…}$$等が全て$${1}$$で、$${x_0,x_1,x_2,…}$$等が全て正整数である場合、正則連分数と呼ばれる。 $${a_0+\dfrac{1}

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    • のび太算考

      小学生の頃、算数の問題で「最大公約数を求めなさい」という問題がありました。「70と56の最大公約数は？」とか、「72と120の最大公約数は？」とかです。普通は、両方に共通な約数を見つけ、それで割り、さらに割り切れるものはないかと、繰り返します。 (70,56)の場合は、共通の約数7が見えるので、それで割って(10,8)。さらに2で割って(5,4)。これ以上はないので、7と2の積14が最大公約数と解ります。(72,120)の場合は、いきなり12が見えます。それで割ると(6,1

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      • 原始ピタゴラス数、(0,1)有理数、60の倍数の角度をもつ三角形のナンバリング　

        これまで、原始ピタゴラス数、区間(0,1)の有理数、60の倍数の角度を持つ三角形に対し、一定のルールを定めてナンバリングしてきました。今回は、それらをまとめて表示するプログラム、及び、それら一部の情報から、他のものを表示するプログラムを示します。 まずは、原始ピタゴラス数、有理数、60の倍数の角度を持つ三角形を、それらに与えられている番号順に表示するプログラムです。 必要な情報を全てメモリに確保し出力しています。一覧表示する時は、この方法が効率的で、プログラム自体もシンプ

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        • 区間(0,1)有理数の整列　～ナンバリング　　　元祖・のび太算の利用

          $${\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2+1}{5+2} =\dfrac{3}{7}}$$ これは、誤った計算です。マンガドラえもんの中で、のび太の答案にありそうな間違いで、このような計算を「のび太算」と呼んでいたと記憶してます。確認のため検索したところ、全然見つからず、それどころか百マス計算か何かで同様の名前が使われていて、そちらの方ばかりがヒットする。 「のび太算」の命名者は、分母同士の和を分母に、分子同士の和を分子にするこの

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        連分数の独自メモ　～のび太算を使った評価法～

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        • のび太算考

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        • 原始ピタゴラス数、(0,1)有理数、60の倍数の角度をもつ三角形のナンバリング　

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        • 区間(0,1)有理数の整列　～ナンバリング　　　元祖・のび太算の利用

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          60の倍数の角度を持つ三角形の整列　　～　ナンバリング

          60の倍数の角度を持つ三角形を通し番号付きで列挙します。 番号は元々(0,1)区間の有理数に与えられたものですが、これまで書いてきたように、(0,1)区間の有理数と60の倍数を持つ三角形を無理矢理1対1対応させ、流用したものです。 各行最後に４つの数字が載っていて、そのうち一つが括弧で囲まれています。これを除いた三つの数字で三角形を作ると、60度または120度または180度の三角形が作れます。行中の 「鋭」は60度の角度を持つ鋭角三角形 「純」は60度の角度を持つ鈍角三角

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          60の倍数の角度を持つ三角形の整列　　～　ナンバリング

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          「60度または120度」改め、「60の倍数」の角度を持つ三角形の整列

          昨日は、$${\dfrac{1}{\sqrt{3}} < t < 1}$$　の有理数のナンバリングをどうするかというところで終了しました。 結論から言うと、あきらめました。 $${\dfrac{1}{\sqrt{3}} < t < 1}$$に属する有理数を次々と生成し、番号を割り振ることはできるでしょう。しかし、$${\sqrt{3}}$$という無理数が含まれているため、新しく作った有理数を採用できるか廃棄せねばならないかは、無理数との大小比較を通して行う事になり、ナンバ

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          「60度または120度」改め、「60の倍数」の角度を持つ三角形の整列

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          60度または120度の角度を持つ三角形の整列問題は特定区間の有理数の整列問題

          $${A(0,\sqrt{3}),B(-1,0),C(1,0),D(x,0)}$$ 但し、$${0 < x < 1}$$ とすると、 $${\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}=2,　\overline{BD}=1+x,　\overline{CD}=1-x,　\overline{AD}=\sqrt{x^2+3}}$$ です。そして、 　$${\overline{BD}^2+\overline{CD}^2+\overlin

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          60度または120度の角度を持つ三角形の整列問題は特定区間の有理数の整列問題

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          続・迷走中

          昨日の問題の解答です。問題は、次 ある二つの数$${m,n}$$があります。$${m}$$は奇数で、$${n}$$は偶数です。 $${m-n、m+(n/2)、m+n}$$ 等全てが平方数になるのはどのような時か まず、$${m-n}$$と$${m+n}$$が平方数であるから、それぞれ、 $${m-n=a'^2,m+n=b'^2}$$　($${a',b'}$$は整数)　　　・・・（★） と置くと、 $${m=(1/2)(a'^2+b'^2),n=(1/2)(-a'^2+b

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          迷走中

          問題です ある二つの数$${m,n}$$があります。$${m}$$は奇数で、$${n}$$は偶数です。 $${m-n、m+(n/2)、m+n}$$ 等全てが平方数になるのはどのような時か 今日は、これで、ご勘弁を 解答は恐らく明日。 #数学がすき

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          迷走中

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          転進

          壁にぶつかりました。 親を見つける変換が定まっていないばかりか、三分木構造になっていませんでした。ループが見つかってしまったのです。完全に手詰まりです。 直角三角形のナンバリングでは上手くいったこの方法ですが、60度、120度を含む三角形のナンバリングには流用できないようです。 転進することにしました。 今日は、ブレイクタイムにしたいと思います。 いきなり恒等式として紹介した $${3(\tfrac{-3x-2y+2z}{3})^2+(\tfrac{-6x+y+2z}

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          60度または120度の角度を持つ三角形の列挙は可能

          恒等式 $${3(\tfrac{-3x-2y+2z}{3})^2+(\tfrac{-6x+y+2z}{3})^2-(\tfrac{-6x-2y+5z}{3})^2 =3x^2+y^2-z^2}$$ を利用すれば、$${3x^2+y^2=z^2}$$の解を次々と見つけ出すことができます。ここでは、互いに素な整数解に限っているため、次のようにします。 $${x_0'=-3x-2y+2z,y_0'=-6x+y+2z,z_0'=-6x-2y+5z　　　(1)'}$$ $${x_

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          60度または120度の角度を持つ三角形の列挙は可能

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          60度または120度の角度を持つ三角形の整列に向けて

          ピタゴラス三角形の整列には成功しました。そこで、次はと考えたのが、60度または120度の角度を持つ三角形です。 三辺の長さを$${a,b,c}$$とすると、$${a^2-ab+b^2=c^2}$$を満たす時、cの対角は60度で、$${a^2+ab+b^2=c^2}$$を満たす時、cの対角は120度です。 後者が成立する時、実は、 $${(a+b)^2-(a+b)b+b^2=c^2}$$, $${a^2-a(a+b)+(a+b)^2=c^2}$$ 等も成立するので、 $

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          60度または120度の角度を持つ三角形の整列に向けて

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          正三角形に一本の線を引いて

          問題です。 正三角形$${ABC}$$の辺$${BC}$$上に点$${D}$$を取る。$${\overline{BD}=p、\overline{CD}=q、\overline{AD}=r}$$ とした時、三辺の長さが$${p,q,r}$$である三角形は、どのような三角形か？ 点$${D}$$の位置は指定されていない。その上「どのような三角形か？」とはどのような意味か？ 点$${D}$$の位置に関わりなく、一定の特徴があるので、それを答えよ、ということなのだろうか？ $${

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          正三角形に一本の線を引いて

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          新しいピタゴラス数が見つかる姿を「見る」方法

          「見る」とは？ 自然数$${a,b,c}$$が、$${a^2+b^2=c^2}$$という関係を持っている時、この三数をピタゴラス数といいます。前回は、 $${(-x-2y+2z)^2+(-2x-y+2z)^2-(-2x-2y+3z)^2=x^2+y^2-z^2}$$ という恒等式を用いて、プログラム的に無限にピタゴラス数を生成する方法を紹介しました。その時、「幾何的意味」として書いたものは、上の恒等式の一つの解釈法であり、頭の中でイメージしてもらいやすいようするためです

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          新しいピタゴラス数が見つかる姿を「見る」方法

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          原始ピタゴラス数の整列 ～ ナンバリング

          直角三角形にかかわる簡単な問題 問題です。 直角三角形があります。斜辺とある一辺の（長さの）差は３、斜辺ともう一辺の差は６です。三角形の三辺は何でしょうか？ 解りましたか？ 実はあることに気づけば秒殺できます。 ３と６は両方とも３の倍数。 だから３で割った１と２で考え、最後に３倍にすればいいや。 直角三角形と言えば$${(3, 4, 5)}$$とかがあるけど、他には．．． あれ！？　これ、条件を満たしているじゃないか！ ということは、$${(9,12,15)}$$の三角

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          原始ピタゴラス数の整列 ～ ナンバリング

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