続・迷走中

昨日の問題の解答です。問題は、次

---

ある二つの数$${m,n}$$があります。$${m}$$は奇数で、$${n}$$は偶数です。
$${m-n、m+(n/2)、m+n}$$
等全てが平方数になるのはどのような時か

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まず、$${m-n}$$と$${m+n}$$が平方数であるから、それぞれ、
$${m-n=a'^2,m+n=b'^2}$$　($${a',b'}$$は整数)　　　・・・（★）
と置くと、

$${m=(1/2)(a'^2+b'^2),n=(1/2)(-a'^2+b'^2)}$$　・・・（★★）

さらに、$${m+n/2}$$も平方数なので、

$${(1/2)(a'^2+b'^2)+(1/4)(-a'^2+b'^2)=(1/4)(a'^2+3b'^2)=c^2}$$  ($${c}$$は整数)

つまり、$${(a'^2+3b'^2)=(2c)^2}$$を満たすような(a',b',c)を持ってきて、
(★★)をつくり、$${m}$$が奇数、$${n}$$が偶数になるように限定すればokです。

しかし、(★)の置き方をちょっと変えると、見通しが良くなります。

$${m-n=(a-b)^2,m+n=(a+b)^2}$$
　　　　　　　　($${a,b}$$は共に整数か、共に半整数)　　　・・・（☆）
$${⇒}$$
$${m=a^2+b^2,n=2ab}$$　・・・（☆☆）

$${a,b}$$が共に半整数の時は$${n}$$は整数でなくなるので除外され、$${m}$$が奇数であることから、$${a,b}$$は、偶奇の異なる整数に限られます。

そして、$${m+n/2}$$も平方数というのは、
$${a^2+b^2+ab=c^2}$$　　($${c}$$は整数)　　　　　・・・（☆☆☆）

になり、120度の角度を持つ三角形の辺長が満たす式と同一のものが現れます。では、(☆☆☆)の一般解は？というと、
$${a=k(p^2-q^2),b=kq(2p+q),c=k(p^2+pq+q^2)}$$

というのが知られていて、結局
$${m=a^2+b^2=k^2(p^4+2p^2q^2+4pq^3+2q^4)}$$
$${n=2ab=2k^2q(p-q)(p+q)(2p+q)}$$
が、一般解になります。ただし、$${m}$$を奇数にするために、$${k,p}$$は奇数という条件がつきます。k=1の時、
$${m-n=(a-b)^2=(p^2-2pq-2q^2)^2}$$
$${m+n=(a+b)^2=(p(p+2q))^2}$$
$${m+n/2=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab=(p^2+pq+q^2)^2}$$

{p,q,m,n,√(m+n),√(m-n),√(m+n/2)}
{1, -5, 801, -720, 9, 39, 21}
{1, -4, 289, -240, 7, 23, 13}
{1, -3, 73, -48, 5, 11, 7}
{1, -2, 9, 0, 3, 3, 3}
{1, -1, 1, 0, 1, 1, 1}
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 1}
{1, 1, 9, 0, 3, 3, 3}
{1, 2, 73, -48, 5, 11, 7}
{1, 3, 289, -240, 7, 23, 13}
{1, 4, 801, -720, 9, 39, 21}
{1, 5, 1801, -1680, 11, 59, 31}
{3, -5, 281, 160, 21, 11, 19}
{3, -4, 113, 112, 15, 1, 13}
{3, -3, 81, 0, 9, 9, 9}
{3, -2, 89, -80, 3, 13, 7}
{3, -1, 89, -80, 3, 13, 7}
{3, 0, 81, 0, 9, 9, 9}
{3, 1, 113, 112, 15, 1, 13}
{3, 2, 281, 160, 21, 11, 19}
{3, 3, 729, 0, 27, 27, 27}
{3, 4, 1649, -560, 33, 47, 37}
{3, 5, 3281, -1760, 39, 71, 49}
{5, -5, 625, 0, 25, 25, 25}
{5, -4, 657, -432, 15, 33, 21}
{5, -3, 697, -672, 5, 37, 19}
{5, -2, 697, -672, 5, 37, 19}
{5, -1, 657, -432, 15, 33, 21}
{5, 0, 625, 0, 25, 25, 25}
{5, 1, 697, 528, 35, 13, 31}
{5, 2, 1017, 1008, 45, 3, 39}
{5, 3, 1777, 1248, 55, 23, 49}
{5, 4, 3217, 1008, 65, 47, 61}
{5, 5, 5625, 0, 75, 75, 75}
{7, -5, 2601, -2160, 21, 69, 39}
{7, -4, 2689, -2640, 7, 73, 37}
{7, -3, 2689, -2640, 7, 73, 37}
{7, -2, 2601, -2160, 21, 69, 39}
{7, -1, 2473, -1248, 35, 61, 43}
{7, 0, 2401, 0, 49, 49, 49}
{7, 1, 2529, 1440, 63, 33, 57}
{7, 2, 3049, 2880, 77, 13, 67}
{7, 3, 4201, 4080, 91, 11, 79}
{7, 4, 6273, 4752, 105, 39, 93}
{7, 5, 9601, 4560, 119, 71, 109}
{9, -5, 7361, -7280, 9, 121, 61}
{9, -4, 7361, -7280, 9, 121, 61}
{9, -3, 7209, -6480, 27, 117, 63}
{9, -2, 6953, -4928, 45, 109, 67}
{9, -1, 6689, -2720, 63, 97, 73}
{9, 0, 6561, 0, 81, 81, 81}
{9, 1, 6761, 3040, 99, 61, 91}
{9, 2, 7529, 6160, 117, 37, 103}
{9, 3, 9153, 9072, 135, 9, 117}
{9, 4, 11969, 11440, 153, 23, 133}
{9, 5, 16361, 12880, 171, 59, 151}

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